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Mathematik » Strukturen und Algebra » Anzahl der Sylow-Untergruppen
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Universität/Hochschule J Anzahl der Sylow-Untergruppen
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-16


Guten Abend zusammen

Ich muss dieses Mal beweisen, dass keine Gruppe der Ordnung 56 existiert, die einfach ist. Dabei weiss ich die Sylowsätze sind der Schlüssel. Ich bin jetzt soweit, dass ich angenommen es existieren 8 Sylow UG der Ordnung 7. Es folgt wir haben 48 Elemente der Ordnung 7 und wir haben noch "Platz" für 8 Elemente. Nun da verstehe ich nicht wieso man draufkommt, dass nur eine 2-Sylow UG in Frage kommt...

Meine Vermutung: Nehmen wir es wären 7 2-Sylow UG (welche ja die andere Möglichkeit wäre). Dann haben wir 14 Elemente der Ordnung 2? Nein, sie können sich ja schneiden (also die einzelne UG) oder?

Vielen Dank für eure Hilfe

Math_user



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-16


Hallo Math_user,

wie viele Elemente hat den eine 2-Sylow UG in einer Gruppe der Ordnung 56?

Gruß,
David



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


2019-10-16 18:32 - DavidM in Beitrag No. 1 schreibt:
wie viele Elemente hat den eine 2-Sylow UG in einer Gruppe der Ordnung 56?
 
Moin David
Du hast meine Schwachstelle gefunden. Ich kann es dir nicht sagen, hast du mir ein Tipp?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-16


Dann guck dir die Definition einer Sylow-Untergruppe noch mal an. Es ist ja $56=2^3 \cdot 7$ ...



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


Ich stelle mal eine Vermutung:
Wir wissen aus dem ersten Sylowsatz, dass:
"Für alle \(0<s<r\) besitzt \(G\)  eine Untergruppe der Ordnung \(p^s\). Insbesondere haben die maximalen \(p\)-Untergruppen von \(G\) die Ordnung \(p^r\)." Dabei, ist mit maximale \(p\)-Untergruppen von \(G\), die \(p\)-Sylowgruppe von \(G\) gemeint (oder?). Also folgt die Ordnung der 2-Sylowgruppe ist in diesem Fall 8 (\(2^3)\).



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-16


Genau, und wenn wir jetzt 48 Elemente der Ordnung 7 haben, die demnach alle in keiner 2-Sylowuntergruppe enthalten sein können, also nur noch 8 mögliche Elemente übrig bleiben, und eine 2-Sylowuntergruppe bereits alle diese 8 Elemente enthalten muss, dann kann es auch nur diese eine geben.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


Nur zum Verständnis: Wenn es eine andere 2-Sylowuntergruppe gäbe, dann müsste sie gleich der Ersten sein. Denn wenn sie sich nur in einem Element unterscheiden, so hätten wir zu viele Elemente in der Gruppe - oder? Und noch was anderes, wissen wir die Ordnung der Elemente in der 2-Sylowuntergruppe?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-16


Ja genau. Die Elementordnungen in der 2-Sylowgruppe kennen wir nicht, nein. Vielleicht kann man irgendwie etwas darüber aussagen, aber zumindest ist das nicht offensichtlich.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


Vielen Dank David für deine guten Erklärungen! Hast mir wirklich weitergeholfen  😄



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