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Universität/Hochschule p-Sylowuntergruppe
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-16


Guten Abend

Ich komme wieder einmal nicht weiter:

fed-Code einblenden

Dabei konnte ich zeigen, dass P eine Untergruppe von G ist aber komme nun nicht mehr weiter...

Vielen Dank für eure Inputs



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Theodore_97
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-17


Hallo Math_user,

Du hast bereits gezeigt, dass $P$ eine Untergruppe ist. Sei $|G|=mp^n$ mit $p\nmid m$. Gemäß Konstruktion ist $P$ eine $p$-Gruppe, also von Ordnung $p^k$ für ein $k\geq 0$. Ist $k=n$, so sind wir fertig. Andernfalls existiert nach Sylow eine Untergruppe $H\supseteq P$ der Ordnung $p^n$. Der Quotient $H/P$ ist von Ordnung $\geq p$ und besitzt nach Cauchy ein Element $xP$ der Ordnung $p$. Dieses Element ist aber schon in $P$ - ein Widerspruch.
Alle Sylow $p$-Untergruppen sind konjugiert zueinander und aus der Kommutativität der Gruppe folgt die Eindeutigkeit.

Verstehe diese Argumentation und arbeite sie aus.



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Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-17


Alternativ (ohne Sylowsätze) kann man hier auch zunächst zeigen (bzw. verwenden), dass jede abelsche Torsionsgruppe $G$ geschrieben werden kann als direkte Summe $\bigoplus_{p \text{ prim}} G_p$, wobei $G_p := \bigcup_{n \geq 0} \ker(p^n : G \to G) = \{x \in G : \text{ord}(x) \text{ ist Potenz von } p\}$. Das gilt insbesondere für endliche abelsche Gruppen $G$. Jedes $G_p$ ist eine $p$-Gruppe, hat also als Ordnung eine $p$-Potenz. Die Ordnung von $G/G_p$ ist daher zu $p$ teilerfremd, womit also $G_p$ eine $p$-Sylowgruppe ist. Ist $H$ eine weitere $p$-Untergruppe von $G$, so ist natürlich $H \subseteq G_p$. Wenn also $H$ eine $p$-Sylowgruppe ist, muss $H = G_p$ gelten.



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