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Theoretische Informatik » Formale Sprachen & Automaten » Sprache nicht regulär: Direkte Argumentation über Automaten
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Universität/Hochschule J Sprache nicht regulär: Direkte Argumentation über Automaten
pram
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-16


Hallo zusammen,

bitte um Hilfe! Welche Wörter könnte ich verwenden, um zu zeigen (direkte Argumentation), dass die Sprache

\(L_1 = \{waw^Rbw | w \in \{a,b\}^+\}\)

nicht regulär ist. \(w^R\) bezeichnet die Umkehrung.

Danke für jeden Hinweis!



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Bilbo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-17


Hallo pram,

was meinst Du mit "direkte Argumentation über Automaten"? Durch Angabe eines Automaten zeigst Du, dass eine Sprache regulär ist; dass sie nicht regulär ist, zeigt man meist am einfachsten mit dem Pumping-Lemma - in diesem Fall bietet sich beispielsweise das Wort an, das für <math>w=b^p</math> entsteht, wobei <math>p</math> die Konstante für <math>L_1</math> wie im Pumping-Lemma ist.

Oder schwebt Dir eine Art der Argumentation vor?

Viele Grüße
Thorsten


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pram
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


2019-10-17 11:17 - Bilbo in Beitrag No. 1 schreibt:
was meinst Du mit "direkte Argumentation über Automaten"?

Hallo Thorsten,

danke schön für Deine Antwort. Wir haben in der Vorlesung drei Methoden zum Beweisen der Nichtexistenz kennengelernt.

1. Direkte Argumentation über Automaten.
Zum Beispiel:

Zu beweisen, dass \(L = \{ww | w \in \{0,1\}^*\}\) nicht regulär ist.

Angenommen, dass \(L\) regulär ist. Dann gibt es einen Automaten \(A\), der diese Sprache akzeptiert.
Betrachten wir Wörter \(1^10, 1^20, 1^{|Q|+1}0\), wobei \(Q\) Zustände im Automaten A sind.
Da wir mehr Wörter als Zustände haben, gibt es solche \(i, j\) (nach dem Schubfachprinzip), s.d. \(\hat{\delta}\)\((q_0, 1^i0)\) = \(\hat{\delta}\)\((q_0, 1^j0)\).
Definieren wir \(z := 1^i0\). Dann gilt:
\(1^i0z \in L\) \(\Leftrightarrow\) \(1^j0z \in L\)

Das ist aber ein Widerspruch, da \(1^i01^i0 \in L\), aber \(1^j01^i0 \notin L\).

2. Pumping-Lemma.

3. Kolmogorov-Komplexität.

Ich muss nach Methode 1 beweisen. Mir fällt aber so eine Konstruktion nicht ein, die mich zum Widerspruch bringt. Vielleicht hast Du irgendwelche Ideen?

Danke und Gruß



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Bilbo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-17


Hallo pram,

ach so meinst du das, danke für die Erklärung.

Da müsste man hier doch ganz analog argumentieren können, indem man sich die Wörter <math>b^1, b^1, ..., b^{\abs{Q} + 1}</math> anschaut und wieder so ein Paar <math>i \neq j</math> sucht. Dann gilt <math>b^i a b^{2i+1} \in L_1</math>, aber <math>b^j a b^{2i + 1} \notin L_1</math>.

Viele Grüße
Thorsten


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pram
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


2019-10-17 12:56 - Bilbo in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann gilt <math>b^i a b^{2i+1} \in L_1</math>, aber <math>b^j a b^{2i + 1} \notin L_1</math>.

Danke schön, Thorsten für deine Hilfe. Ich verstehe nur nicht so ganz, weshalb das gilt <math>b^i a b^{2i+1} \in L_1</math>, aber <math>b^j a b^{2i + 1} \notin L_1</math>. Also genau genommen, weshalb <math>b^j a b^{2i + 1} \notin L_1</math> gilt.
Im ersten Fall ist das in der Sprache, das ist mir klar. Aber im zweiten Fall nicht? 😵

Mein Beispiel von oben habe ich so verstanden, dass die zwei Wörter \(ww\) nicht ein und dasselbe sind, weil \(i \neq j\), aber was ist hier der Widerspruch?

Danke und Gruß



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Bilbo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-17


Hallo pram,

wäre das Wort <math>b^jab^{2i+1}</math> in der Sprache, dann müsste es ein Wort <math>w \in \{a,b\}^+</math> geben, für das gilt: <math>b^jab^{2i+1} = waw^Rbw</math>.

Das Wort auf der linken Seite dieser Gleichung enthält aber nur ein <math>a</math> - somit ist klar, dass das <math>a</math> links mit dem <math>a</math> nach dem Wort <math>w</math> auf der rechten Seite übereinstimmt. Und damit folgt, dass <math>w=b^j</math> sein muss (da der Teil links von dem <math>a</math> auf der einen Seite dem Teil links von dem <math>a</math> auf der anderen Seite entsprechen muss).

Dann hat aber das Wort auf der rechten Seite insgesamt die Länge <math>\abs{w}+1+\abs{w^R}+1+\abs{w} = j +1 +j +1 +j = j + 2 + 2j</math>, während das Wort auf der linken Seite offensichtlich die Länge <math>j + 2 + 2i</math> besitzt. Das kann nur sein, wenn <math>i=j</math> ist, im Widerspruch zur Wahl von <math>i</math> und <math>j</math>.

Ist es damit klar?

Viele Grüße
Thorsten


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2019-10-17 14:15 - Bilbo in Beitrag No. 5 schreibt:
Dann hat aber das Wort auf der rechten Seite insgesamt die Länge <math>\abs{w}+1+\abs{w^R}+1+\abs{w} = j +1 +j +1 +j = j + 2 + 2j</math>, während das Wort auf der linken Seite offensichtlich die Länge <math>j + 2 + 2i</math> besitzt. Das kann nur sein, wenn <math>i=j</math> ist, im Widerspruch zur Wahl von <math>i</math> und <math>j</math>.

Ist es damit klar?

Vielen vielen Dank, Thorsten, damit ist es jetzt ganz klar!



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