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Universität/Hochschule Bestapproximation
Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-17


Gegeben ist der Banachraum C[0,1] mit der Maximumsnorm und der Teilraum P der konstanten Polynome.

Das Proximum ist definiert als v* mit ||f-v*|| = inf{||f-v|| : v aus P}

Nun soll ich zeigen dass das eindeutige Proximum an f (aus C[0,1]) folgendermaßen aussieht:
v* = 1/2*(min f(x) + max f(x))   (0<=x<=1)


Kann mir das jemand erklären wie ich das zeige?
Das wäre wirklich sehr hilfreich (auch für weitere Aufgaben die ich bearbeiten muss)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-17


Es ist ja zu zeigen, dass für $m := (\min(f) + \max(f))/2$ und alle $c \in \IR$ stets $|f-m| \leq |f-c|$ gilt (mit der Maximumsnorm).
 
Mache dir zunächst einmal eine Zeichnung bestehend aus einer "typischen" stetigen Funktion sowie horizontalen Geraden durch ihr Maximum, ihr Minimum und den Mittelwert $m$. Schau dir danach verschiedene Werte von $c$ an und zeichne die Abstände zu $f$ (also $|f-c|$) ein. Dann kommst du vielleicht auf eine Idee, wie man den Beweis führen kann.



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


Vom Prinzip her habe ich das verstanden. Ich verstehe bloß nicht wie ich das allgemein für jede Funktion stetige Funktion zeigen kann. Habe mir auch mehrere Beispiele überlegt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-18


Hast du dir bereits überlegt (was bei der Skizze ja deutlich ist), dass $|f-m| = (\max(f) - \min(f))/2$ gilt?

Der Beweis verläuft dann (motiviert durch die Skizze) so:

Sei $c > m$. Wähle $x$ mit $\min(f) = f(x)$. Dann ist $|f-c| \geq |f(x) - c| = |\min(f) - c| = c - \min(f) > m - \min(f) = (\max(f) - \min(f))/2 = |f-m|$.
 
Für $c < m$ geht man ähnlich vor.



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-18


Danke ich werde das mal so versuchen.



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-18


Eine Frage habe ich allerdings. Es könnte doch auch sein dass min(f) < 0 ist, dann kann ich doch nicht davon ausgehen, dass v-min(f) > c-min(f) oder?



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-18


Zudem stimmt die Aussage |f-m| = 1/2(min(f)+max(f)) nicht



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-18


Alles gut ich hab mich verlesen. Hab alles verstanden. :)



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