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Mathematik » Strukturen und Algebra » Faser einer Modulgarbe
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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-20 12:06

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\mer}{mer} \DeclareMathOperator{\Sht}{Sht} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \newcommand{\h}{\o{h}} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} 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Hallo Kenner der Algebraischen Geometrie.

Ich dachte der Beweis ist trivial, aber jetzt schieße ich mir selbst ins Bein.

Es geht um folgendes:
Sei $\sc{F}$ ein $\c{O}_X$-Modul auf einem Schema $X$.
Die Faser von $\sc{F}$ an einem Punkt $x\in X$ ist definiert als $$\sc{F}(x)\colon\defeq \sc{F}_x\ot_{\c{O}_{X,x}}\kappa(x)$$.

Fakt:
Sei $x\colon \sp{\kappa(x)}\to X$ ein Punkt.
Dann ist $\Gamma(\sp{\kappa(x)},x^*\sc{F})\cong \sc{F}(x)$.

Beweis für quasi-kohärente Modulgarben
Set $\sc{F}$ eine quasi-kohärente Modulgarbe auf $X$.
Sei $U=\sp{A}$ eine offene affine Umgebung von $x$, welche $\sc{F}$ trivialisiert ($\sc{F}\mid_U\cong \wt{M}$).
Der Morphismus $\sp{\kappa(x)}\to U$ faktorisiert dann über
$\sp{\c{O}_{X,x}}\to U$:

$x=(\sp{\kappa(x)}\overset{v_x}{\to} \sp{\c{O}_{X,x}}\overset{u_x}{\to} U\overset{i_U}{\hk} X)$.
Es sei $\pr$ das Primideal welches in $\sp{A}$ zu $x$ korrespondiert.

Folglich gilt $x^*\sc{F}=v_x^*u_x^*i_u^*\sc{F}=v_x^*u_x^*\sc{F}\r{U}\cong v_x^*u_x^*\wt{M}\cong v_x^*\wt{M\ot_A A_\pr}\cong \wt{M\ot_A A_\pr\ot_{A_\pr} \kappa(x)}$.
Also haben wir $\Gamma(\sp{\kappa(x)},x^*\sc{F})\cong M\ot_A A_\pr \ot_{A_\pr}\kappa(x)\cong M_\pr\ot_{A_\pr} \kappa(x)\cong \sc{F}_x\ot_{\c{O}_{X,x}} \kappa(x)=\sc{F}(x)$.

Das kann niemals der einfachste Beweis sein!

Ein anderer Beweis könnte so gehen:
Per Definition hat man $x^*\sc{F}=x^{-1}\sc{F}\ot_{x^{-1}\c{O}_X} \c{O}_{\sp{\kappa(x)}}$.
Es gilt
$\Gamma(\sp{\kappa(x)},x^{-1}\sc{F})\overset{\color{red}{!}}{=}\Gamma(\sp{\kappa(x),x^{+}\sc{F}})=\mathrm{colim}_{V\supseteq x}\sc{F}(V)=\sc{F}_x$.

Insbesondere $x^{-1}\c{O}_X=\c{O}_{X,x}$.
Für die globalen Schnitte hat man
$(x^{-1}\sc{F}\ot_{x^{-1}\c{O}_X} \c{O}_{\sp{\kappa(x)}})(\sp{\kappa(x)})\overset{\color{red}{!}}{=} \sc{F}_x(\sp{\kappa(x)}\ot_{\c{O}_{\sp{\kappa(x)}}(\sp{\kappa(x)})}) \kappa(x)=\sc{F}_x\ot_{\c{O}_{X,x}}\kappa(x)=\sc{F}(x)$.

Mir ist nicht klar warum die rot markierten Gleichheiten gelten.
Allgemein würde es mich interessieren, wann (für welche $U$ zum Beispiel) für eine Prägarbe $\sc{F}$ und ihre Garbifizierung $\sc{F}^\#$ gilt $\sc{F}(U)=\sc{F}^\#(U)$.

Für quasi-kohärente Modulgarben $\sc{F},\sc{G}$ und offene affine $U$ gilt ja
$(\sc{F}\ot_{\c{O}_X}\sc{G})(U)=\sc{F}(U)\ot_{\c{O}_X(U)}\sc{G}(U)$. Damit wäre die zweite Gleichheit begründet (wenn $\sc{F},\sc{G}$ quasi-kohärent sind, vorausgesetzt $x^{-1}\sc{F}$ ist es auch. (Bewahrt $f^{-1}$ genauso wie $f^*$ Quasi-Kohärenz? Bin mir gerade etwas unsicher.))

Die erste Gleichheit könnte man auch zeigen, wenn $\sc{F}$ quasi Kohärent ist:
Für jeden $K$-Vektorraum $V$ gilt:

$\Hom(x^{-1}\sc{F},\wt{V})\cong
\Hom(x^{+}\sc{F},\wt{V})$.

Man kann aberjetzt nicht direkt
$\Hom_{K-\tx{vect}}(x^{-1}\sc{F}(\sp{K}),\wt{V})\cong \Hom_{K-\tx{vect}}(x^{+}\sc{F}(\sp{K}),\wt{V})$ folgern (hierraus würde das gewünschte aus dem Yoneda Lemma folgen.), denn nicht jeder Morphismus zwischen den Vektorräumen muss von einem Morphismus der Garben kommen, es sei denn $x^{-1}\sc{F}$ und $x^{+}\sc{F}$ sind quasi-kohärent (für Prägarben macht das aber gar keinen Sinn.)

Man könnte folgendes versuchen, um die Schnitte einer PRägarbe mit den Schnitten der Garbe zu identifizieren:
Wir wissen, dass die Halme einer Prägarbe mit den Halmen der Garbe übereinstimmen und wenn $\sc{F}_x\to \sc{G}_x$ bijektiv ist, dann ist $\sc{F}(U)\to \sc{G}(U)$, aber das gilt nur für Garben. Also bringt das hier nichts.

Zu guter letzt steht in vielen Büchern über Algebraische Geometrie folgendes:
Sei $\{x\}\overset{i}{\to} X$ ein Punkt eines Schemas. (Man meint damit wohl $\sp{\kappa(x)}\to X$, denn die Menge $\{x\}$ ist erstmal kein Schmema.)

Dann gilt $i^{-1}\sc{F}=\sc{F}_x$, für alle Prägarben $\sc{F}$ auf $X$.
Das macht aber erstmal nur bedingt Sinn.
Links steht eine Garbe, rechts steht eine Abelsche Gruppe.
Der Beweis dieser Aussage (wenn man Wedhorn-Görtz folgt) soll aus der "Definition" (Konstruktion) von $x^{-1}$ als Garbifizierung von $U\mapsto \mathrm{colim}_{V\supseteq x(U)}\sc{F}(V)$.
Es ist also die Aussage $\Gamma(\sp{\kappa(x)},x^{-1}\sc{F})\cong \sc{F}_x$ gemeint. Dieser "Beweis" hat aber das gleiche Problem wie ich es oben geschildert habe. Warum darf man einfach Schnitte der Garbe mit Schnitten der Prägarbe identifizieren? Ist das immer so wenn man globale Schnitte betrachtet?

Entschuldigt meine trivialen Fragen.
Ich hoffe jemand kann mich etwas aufklären.

Mich würde auch interessieren, wie es aussieht, wenn man in der obigen Diskussion $K$ durch einen Integritätsbereich ersetzt.

Nachtrag:
Ich sehe gerade, dass man auch so vorgehen kann (zumindest für abgeschlossene Punkte):
Sei $i\colon Z=V(\c{I})\hk X$ eine abgeschlossene Immersion.
Dann gilt $i_*i^*\sc{F}\cong \sc{F}/{\c{I}\sc{F}}$.
Demnach hat man speziell für einen abgeschlossenen Punkt $x$.
$\Gamma(X,x_*^*\sc{F})=\sc{F}/{\ff{m}_x\sc{F}}$.
Die linke Seite ist gleich $\Gamma(\sp{K},x^*\sc{F})$, die rechte ist gleich $\sc{F}(x)$.

Dennoch interessieren mich die gestellten Fragen und auch ein "einfacher direkter Beweis" des Fakts den ich ganz am Anfang hingeschrieben habe.

Vielen Dank für eure Beteiligung und
$\viele$



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PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20 15:24


Ich muss gleich weg und habe mir daher noch nicht alle deine Beweise durchgelesen.

So würde ich es jedenfalls beweisen: Der Morphismus $x : \mathrm{Spec} k(x) \to X$ ist affin (das kann man sich leicht überlegen). Die zugehörige quasikohärente $\mathcal{O}_X$-Algebra ist $A = x_* \mathcal{O}_{k(x)}$. Explizit ist $A(U) = \mathcal{O}_{k(x)}(x^{-1}(U))$ entweder $k(x)$, nämlich wenn $x \in U$, und ansonsten $0$. Das ist also eine "Wolkenkratzergarbe".
 
Nun gilt allgemein für einen affinen Morphismus $p : \mathrm{Spec}(A) \to X$ für eine quasikohärente $\mathcal{O}_X$-Algebra $A$ und für quasikohärente $\mathcal{O}_X$-Moduln $M$:

$p^*(M) = M \otimes_{\mathcal{O}_X} A,$
 
wobei wir die Äquivalenz $\mathbf{QCMod}(\mathrm{Spec}(A)) \simeq \mathbf{QCMod}(A)$ benutzen. Das kann man ja auf den Fall runterbrechen, wo $X$ affin ist, und dann ist das einfach die übliche lokale Beschreibung des Pullbacks (die sich wiederum direkt aus der Adjunktion zwischen $p^*$ und $p_*$ ergibt).
 
Was wir also lediglich tun müssen, ist das Tensorprodukt für den Spezialfall $A = x_* \mathcal{O}_{k(x)}$ zu berechnen. Das Tensorprodukt ist die Garbe, die assoziert ist zur Prägarbe, die $U \subseteq X$ offen abbildet auf $M(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} A(U)$. Für $x \notin U$ ist das $0$, und für $x \in U$ ist das $M(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} k(x) = M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x)$. Jetzt sollte es klar sein.
 
Ich werde später noch einen anderen Beweis posten, weil mir der hier auch nicht wirklich gefällt.

An deinem ersten Beweis ist übrigens nichts auszusetzen, finde ich. Man kann ihn vielleicht noch etwas "knackiger" aufschreiben, zum Beispiel indem man irgendwo begründet, warum man sowieso $X$ als affin annehmen darf. Und den "Umweg" über $\mathcal{O}_{X,x}$ kann man sich sparen, die Faktorisierung über $U$ reicht aus.

2019-10-20 12:06 - xiao_shi_tou_ im Themenstart schreibt:
Warum darf man einfach Schnitte der Garbe mit Schnitten der Prägarbe identifizieren? Ist das immer so wenn man globale Schnitte betrachtet?
 
Nein, das darf man nicht. Aber überlege dir einmal, wie Prägarben und Garben auf Räumen mit nur einem Punkt aussehen bzw. sich unterscheiden.
EDIT: Damit sollten sich zwei deiner Beweise vervollständigen lassen, oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20 19:42


Ich sehe gerade erst, dass bei dir die Quasikohärenz nicht gefordert ist.
 
Dann kann man sich eigentlich auch ganz von Schemata verabschieden und das für beliebige lokalgeringte Räume $X$, Punkte $x$ und $\mathcal{O}_X$-Modulgarben $M$ machen. Der Morphismus $x : \mathrm{Spec}(k(x)) \to X$ lässt sich auch hier definieren. (Beachte, dass sich der Morphismus $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{X,x}) \to X$ in der Allgemeinheit nicht definieren lässt.)
 
$x^* M$ ist eine Modulgarbe auf $\mathrm{Spec}(k(x))$. Nun ist $\Gamma$ (globale Schnitte) eine Äquivalenz von Kategorien zwischen den Modulgarben auf $\mathrm{Spec}(k(x))$ und den $k(x)$-Moduln. Der pseudoinverse Funktor bildet einen $k(x)$-Modul $V$ (also ein Vektorraum über $k(x)$) ab auf die Modulgarbe $\mathcal{O}_{k(x)} \otimes_{k(x)} V$; das ist ein externes Tensorprodukt, es gilt also per Definition die Adjunktion $\hom_{\mathcal{O}_{k(x)}}(\mathcal{O}_{k(x)} \otimes_{k(x)} V,N) \cong \hom_{k(x)}(V,\Gamma(N))$.

Die Behauptung $\Gamma(x^* M) \cong M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x)$ ist daher äquivalent zu $x^* M \cong \mathcal{O}_{k(x)} \otimes_{k(x)} (M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x))$. Zeigen wir einfach, dass dieses Tensorprodukt dieselbe universelle Eigenschaft von $x^* M$ erfüllt. Damit wir weniger schreiben müssen, verwenden wir Enden. Für Modulgarben $N$ über $\mathrm{Spec}(k(x))$ gilt

$\begin{align*}
\hom_{\mathcal{O}_{k(x)}}(x^* M,N) & \cong \hom_{\mathcal{O}_X}(M,x_* N)\\
&  \cong \int_{U \subseteq X \text{ offen}} \hom_{\mathcal{O}_X(U)}(M(U),N(x^{-1}(U))) \\
& \cong \int_{x \in U \subseteq X \text{ offen}} \hom_{\mathcal{O}_X(U)}(M(U),\Gamma(N)) \\
& \cong \hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(M_x,\Gamma(N))  \\
& \cong \hom_{k(x)}(M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x), \Gamma(N))  \\
& \cong \hom_{\mathcal{O}_{k(x)}}(\mathcal{O}_{k(x)} \otimes_{k(x)} (M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x)), N)
\end{align*}$



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Triceratops
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Ich denke, dann bleibt nur noch das hier:

2019-10-20 12:06 - xiao_shi_tou_ im Themenstart schreibt:
(Bewahrt $f^{-1}$ genauso wie $f^*$ Quasi-Kohärenz? Bin mir gerade etwas unsicher.))
 
Für einen Morphismus $f : X \to Y$ und einen quasikohärenten $\mathcal{O}_Y$-Modul $M$ ist $f^{-1} M$ erst einmal gar kein $\mathcal{O}_X$-Modul, daher muss man bei der Aussage aufpassen. Aber $f^{-1} M$ ist ein $f^{-1} \mathcal{O}_Y$-Modul und als solcher auch quasikohärent. Das ergibt sich zum Beispiel aus der Charakterisierung / Definition quasikohärenter Moduln, dass es lokal immer eine Präsentation durch freie Moduln gibt (Stacks:01BD). Ich bezweifle aber, dass uns das hier wirklich weiterbringt.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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2019-10-20 22:01 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich denke, dann bleibt nur noch das hier:

2019-10-20 12:06 - xiao_shi_tou_ im Themenstart schreibt:
(Bewahrt $f^{-1}$ genauso wie $f^*$ Quasi-Kohärenz? Bin mir gerade etwas unsicher.))
 
Für einen Morphismus $f : X \to Y$ und einen quasikohärenten $\mathcal{O}_Y$-Modul $M$ ist $f^{-1} M$ erst einmal gar kein $\mathcal{O}_X$-Modul, daher muss man bei der Aussage aufpassen. Aber $f^{-1} M$ ist ein $f^{-1} \mathcal{O}_Y$-Modul und als solcher auch quasikohärent. Das ergibt sich zum Beispiel aus der Charakterisierung / Definition quasikohärenter Moduln, dass es lokal immer eine Präsentation durch freie Moduln gibt (Stacks:01BD). Ich bezweifle aber, dass uns das hier wirklich weiterbringt.

Hallo.
Ich verstehe.
Ich wollte das einbringen um zu zeigen, dass die Globalen Schnitte von $x^{-1}\sc{F}\ot_{x^{-1}\c{O}_X}\c{O}_{\sp{\kappa(x)}}$ gleich dem Tensorprodukt der globalen Schnitte ist.

$1000$!

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-20 22:14


Ja das ist so. Modulgarben auf $\mathrm{Spec}(k(x))$ sind (weil es nur einen Punkt gibt) sehr einfach zu verstehen, weil sie via $\Gamma$ zu den $k(x)$-Moduln korrespondieren, und Tensorprodukte werden dabei auch erhalten (also es ist eine monoidale Äquivalenz).



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xiao_shi_tou_
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2019-10-20 22:14 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Ja das ist so. Modulgarben auf $\mathrm{Spec}(k(x))$ sind (weil es nur einen Punkt gibt) sehr einfach zu verstehen, weil sie via $\Gamma$ zu den $k(x)$-Moduln korrespondieren, und Tensorprodukte werden dabei auch erhalten (also es ist eine monoidale Äquivalenz).
Hallo.
Jetzt müsste ich erstmal etwas die Antworten verdauen :D.
Der Beweis mit den Enden zeigt eindrucksvoll wie nützlich sie doch sind!
Hätte ich damals nicht vergessen mich etwas mehr mit ihnen zu beschäftigen, dann wäre mir vielleicht so mancher Beweis leichter gefallen.
Ich schaue jetzt nochmal in den Artikel über Enden und Koenden!

Um ehrlich zu sein habe ich mir immer schon gewünscht man könnte die Hom Mengen $\hom(\sc{F},\sc{G})$ und $(\hom(\sc{F}(U),\sc{G}(U)))_U$ in Beziehung setzen mit etwas wie einem "Limes". Dass das mit Enden geht war mir nicht bewusst.

Viele Grüße und herzlichen Dank für all die Mühe und Geduld!
XST
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