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  Approximation durch Polynome |
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Kingtom2
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Ich habe mal wieder den Banachraum C[-1,1] versehen mit der Maximumsnorm.
Der Teilraum M= {q:[-1,1]-> R | q gerades polynom} sowie die Funktion f(x) = exp(x^2)
Ich soll nun zeigen dass der Approximationsgrad = inf {||f-v|| : v aus M} = 0 gilt.
Wie mache ich das?
Ich hab mir das mal aufgezeichnet und zu dem Schluss gekommen:
- die geraden polynome sind Parabeln, daher sollte der maximale Abstand zu f an den Randstellen des Intervalls liegen
- exp(x^2) bildet nur auf [0,1] ab
- ich denke mal ich muss den Ausdruck ||f-v|| irgendwie abschätzen sodass ich am Ende auf >0 komme ich weiß aber nicht wie:/
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ochen
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20
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Hallo,
berechne mal das Taylorpolynom von $f$ im Punkt $0$. Schätze den Fehler mit dem Lagrangeschen Restglied ab.
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Wally
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2019-10-20 17:11 - Kingtom2 im Themenstart schreibt:
Ich hab mir das mal aufgezeichnet und zu dem Schluss gekommen:
- die geraden polynome sind Parabeln, daher sollte der maximale Abstand zu f an den Randstellen des Intervalls liegen \(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Kingtom2,
das probiere doch mal mit \(f(x)=x^4-x^2\) aus :)
Du kannst alternativ zu ochens Vorschlag benutzen, dass die Potenzreihe zu \(e^{x^2}\) auf kompakten Mengen glm. konvergiert.
Wally\(\endgroup\)
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Kingtom2
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20
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Danke für die Antworten.
Zu ochen:
ich verstehe nicht ganz wie du das meinst mit dem Restglied. Wie hilft mir das weiter?
Das klingt in dem Zusammenhang ganz neu für mich.
Zu wally:
Wieso brauche ich da Kompaktheit?
Jetzt bin ich tatsächlich mehr verwirrt als zuvor.
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Wally
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| Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-20
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Weil Potenzreihen i.a. nur auf Teilmengen von kompakten Mengen innerhalb des Konvergenzradius glm. konvergieren.
Wally
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Kingtom2
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20
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Okay und damit soll ich dann in der Norm abschätzen?
Das hilft mir nicht weiter
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Kingtom2
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20
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Ah Moment
Die Potenzreihe hat die Form 1/k! * x^(2k) was ja gerade polynome sind, oder?
Bin ich auf dem richtigen Weg?
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ochen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-20
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2019-10-20 18:18 - Kingtom2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ah Moment
Die Potenzreihe hat die Form 1/k! * x^(2k) was ja gerade polynome sind, oder?
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Naja, die Potenzreihe hat nicht die Form 1/k! * x^(2k).
Sie hat die Form
\[P(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^{k}.\]
Wenn du zeigen kannst, dass $a_{2k+1}=0$ für alle $k\in \mathbb{N}$ gilt, bist du fast fertig.
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Kingtom2
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20
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Achso dann hab ich das mit der exponentialreihe verwechselt.
Das heißt ich habe dann nur gerade Potenzen in der Reihe und deshalb ist das infimum null?
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ochen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-20
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Schreib doch mal bitte für uns das Taylorpolynom $n$-ten Grades von $f(x)=e^{x^2}$ um den Entwicklungspunkt $x_0=0$ hin. Alternativ schreibe mal die Potenzreihe hin. Wieso entfallen alle ungeraden Potenzen bei der Taylor- oder Potenzreihe?
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Kingtom2
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20
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Naja die Ableitungen sind:
2x*e^x^2
(8x^3+12x)*e^x^2
(16x^4+48*x^2+12)*e^x^2
...
Man sieht schon dass in jeder zweiten ableiten noch eine Konstante in dem vorfaktor steht sodass die Ableitung im entwicklungspunkt x=0 ungleich null ist
Die komplette Reihe hab ich jetzt mal nicht hingeschrieben
Auf jeden Fall bleiben dann am Ende 1, x^2, x^4 ....
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ochen
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| Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-21
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Hallo,
eine Lösung mit Hilfe des Lagrangeschen Restglieds beginnt so:
Wir definieren für jedes $n\in \mathbb{N}$ \[ f\colon [0,1]\to\mathbb{R},\,x\mapsto \exp(x).\]
und \[ T_n\colon [0,1]\to\mathbb{R},\,x\mapsto \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}.\]
So gibt es für jedes $y\in [0,1]$ ein $\xi\in [0,1]$ mit \[|R(y)|=|f(y)-T_n(y)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi y)}{(n+1)!}y\right|\leq \frac{e}{(n+1)!}\]
Erkläre hier, warum die letzte Abschätzung gilt.
Sei nun $x\in [-1,1]$ beliebig, so gilt für jedes $n\in \mathbb{N}$ \[|f(x^2)-T_n(x^2)|\leq \frac{e}{(n+1)!}.\]
Welchen Grad hat $p(x):=T_n(x^2)$? Ist $p\in M$?
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Konvergenz' von ochen]
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