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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Isomorphismus generischer Fasern
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Universität/Hochschule Isomorphismus generischer Fasern
xiao_shi_tou_
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Hi zusammen.
Sorry, dass ich so viele Fragen stelle, aber ich kann eine Stelle in dem paper nicht nachvollziehen.
Es geht um dieses paper.

In Abschnitt $1.1$ wird erklärt, was eine Modifikation von Vektorbündeln ist und es wird erklärt was die Invariante einer Modifikation ist.

Sei also $X$ eine glatte geometrisch irreduzible projektive Kurve ${}/{\F_q}$ und sei $\cl{X}$ der Basiswechsel entlang $\F_q\to \cl{\F_q}=k$ wobei ein Algebraischer Abschluss fixiert wurde.

Sei nun $\cl{T}\sube \cl{X}$ ein endliches abgeschlossenes Unterschema und sei $x$ ein geometrischer Punkt in $\cl{T}$. (Das ist das gleiche wie ein $k$-wertiger Punkt).

Sei $\mu\in \cl{X}-\cl{T}$ der eindeutig bestimmte generische Punkt.
Dann induziert die Modifikation $\varphi\colon \c{E}\r{\cl{X}-\cl{T}}\sto \c{E}'\r{\cl{X}-\cl{T}}$ einen Isomorphismus auf den Halmen $\c{E}_\mu\to \c{E}'_\mu$ und folglich auch auf den generischen Fasern
$\c{E}(\mu)\to \c{E}'(\mu)$.

In dem Paper werden die generischen Fasern mit $V,V'$ bezeichnet.

Meine Frage ist, warum das dann einen Isomorphismus $V_x\sto V'_x$ induziert
Erstmal ist nicht klar was $V_x,V'_x$ sein soll, da es nicht definiert wurde. Der Halm kann es nicht sein, denn $V,V'$ sind Vektorräume.
Das vernünftigste was ich mir darunter vorstellen kann ist
$V_x\colon\defeq \wh{\c{E}}_x\ot_{\wh{\c{O}}_x} F_x$ wobei $F_x$ wie im paper den Quotientenkörper von $\wh{\c{O}_x}$ bezeichnet.

Doch was haben $V$ und $V_x$ überhaupt miteinander zu tun?
Schließlich ist $x\in \cl{T}$, also $x\not\in \cl{X}-\cl{T}$ aber $\mu\in \cl{X}-\cl{T}$. Der Isomorphismus $V\sto V'$ sieht doch gar nicht was bei $x$ passiert!?

Versteht jemand was der Autor an dieser Stelle meint?

Viele Grüße und Vielen Dank!
XST

EDIT:

Hier ist die Stelle im paper.

Unklar ist mir wie gesagt, was mit $V_x$ und $V'_x$ gemeint sein könnte.




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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27 11:20

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Sei $U$ eine Umgebung von $x$ die $\c{E}$ trivialisiert:
$\c{E}\r{U}\cong \c{O}_{\cl{X}}\r{U}^r$.
Hierraus folgt $\c{E}_x=\c{O}_x^r$ und $\c{E}_\mu\cong \c{O}_\mu^r$. Also gilt $\c{E}_\mu\cong \c{O}_\mu^r\cong \c{O}_{x}^r\ot_{\c{O}_x}\c{O}_\mu\cong \c{E}_x\ot_{\c{O}_x}\c{O}_\mu$.
Hierraus folgt, dass wir einen Isomorphismus
$\c{E}_x\ot_{\c{O}_x}\c{O}_\mu\sto \c{E}'_x\ot_{\c{O}_x}\c{O}_\mu$ haben.
Nur wie kriegt man einen Isom. $V_x\colon\defeq \wh{\c{E}_x}\ot_{\wh{\c{O}_x}}\Frac(\wh{\c{O}_x})\sto \wh{\c{E}'_x}\ot_{\wh{\c{O}_x}}\Frac(\wh{\c{O}_x})\defeq \colon V_x'$?

Viele Grüße
XST
\(\endgroup\)


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