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Analysis » Maßtheorie » Nachweis eines Halbrings
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Universität/Hochschule J Nachweis eines Halbrings
Mathjou
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-26


Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
Ich habe folgende Menge gegeben:
\(S\) = {S Teilmenge von R| S endlich oder R\S ist endlich} und soll zeigen, dass diese Menge ein Halbring ist.
Nun komme ich bei dem 3. Punkt nicht weiter: Ich soll zeigen, dass für 2 Mengen S,T aus \(S\) gild, das S\T als endliche Vereinigung von Teilmengen aus \(S\) geschrieben werden kann.
Nun sieht mein Ansatz folgendermaßen aus: Ich unterscheide 3 Fälle - im ersten sind T und S endlich, da ist es möglich, da ja jede einelementige MEnge in meiner Grundmenge liegt. Nun ist die Frage beim 2. und 3. Fall (wobei schätzungsweise würde der 3. aus dem 2. folgen): Ich betrachte ein e Menge ist endlich, eine ist unendlich. oBdA S ist nicht endlich => R\S ist endlich. Und dort komme ich nicht weiter. Es würde ja bedeuten, dass es für R\S eine solche Abdeckung gibt, damit habe ich es aber noch noch nicht für die Grundaussage gezeigt. Oder ist mein Ansatz schon komplett sinnfrei?

P.S.: Entschuldigung, dass kein Latex verwendet wurde (bzw. wenig), das schien bei mir zu Problemen geführt zu haben.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-26

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2019-10-26 22:49 - Mathjou im Themenstart schreibt:
Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
Ich habe folgende Menge gegeben:
\(S\) = {S Teilmenge von R| S endlich oder R\S ist endlich} und soll zeigen, dass diese Menge ein Halbring ist.
Nun komme ich bei dem 3. Punkt nicht weiter: Ich soll zeigen, dass für 2 Mengen S,T aus \(S\) gild, das S\T als endliche Vereinigung von Teilmengen aus \(S\) geschrieben werden kann.
Nun sieht mein Ansatz folgendermaßen aus: Ich unterscheide 3 Fälle - im ersten sind T und S endlich, da ist es möglich, da ja jede einelementige MEnge in meiner Grundmenge liegt. Nun ist die Frage beim 2. und 3. Fall (wobei schätzungsweise würde der 3. aus dem 2. folgen): Ich betrachte ein e Menge ist endlich, eine ist unendlich. oBdA S ist nicht endlich => R\S ist endlich. Und dort komme ich nicht weiter. Es würde ja bedeuten, dass es für R\S eine solche Abdeckung gibt, damit habe ich es aber noch noch nicht für die Grundaussage gezeigt. Oder ist mein Ansatz schon komplett sinnfrei?

P.S.: Entschuldigung, dass kein Latex verwendet wurde (bzw. wenig), das schien bei mir zu Problemen geführt zu haben.

Hi und willkommen.
Wie habt ihr den Begriff eines Halbrings definiert?
Ich kenne nur Ringe und $\s$-Algebren.



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Mathjou
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Dabei seit: 09.08.2019
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-26

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2019-10-26 23:01 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
2019-10-26 22:49 - Mathjou im Themenstart schreibt:
Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
Ich habe folgende Menge gegeben:
\(S\) = {S Teilmenge von R| S endlich oder R\S ist endlich} und soll zeigen, dass diese Menge ein Halbring ist.
Nun komme ich bei dem 3. Punkt nicht weiter: Ich soll zeigen, dass für 2 Mengen S,T aus \(S\) gild, das S\T als endliche Vereinigung von Teilmengen aus \(S\) geschrieben werden kann.
Nun sieht mein Ansatz folgendermaßen aus: Ich unterscheide 3 Fälle - im ersten sind T und S endlich, da ist es möglich, da ja jede einelementige MEnge in meiner Grundmenge liegt. Nun ist die Frage beim 2. und 3. Fall (wobei schätzungsweise würde der 3. aus dem 2. folgen): Ich betrachte ein e Menge ist endlich, eine ist unendlich. oBdA S ist nicht endlich => R\S ist endlich. Und dort komme ich nicht weiter. Es würde ja bedeuten, dass es für R\S eine solche Abdeckung gibt, damit habe ich es aber noch noch nicht für die Grundaussage gezeigt. Oder ist mein Ansatz schon komplett sinnfrei?

P.S.: Entschuldigung, dass kein Latex verwendet wurde (bzw. wenig), das schien bei mir zu Problemen geführt zu haben.

Hi und willkommen.
Wie habt ihr den Begriff eines Halbrings definiert?
Ich kenne nur Ringe und $\s$-Algebren.


Einen Halbring haben wir folgendermaßen definiert:

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xiao_shi_tou_
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Hallo Mathjou.
Beachte, dass jede Menge $Z\in \zeta$ bereits eine disjunkte Vereinigung von Mengen aus $\zeta$ ist.
In deinem Beispiel brauchst du deshalb gar nicht an disjukte Vereinigungen zu denken. Du musst nur zeigen, dass $S\setminus T$ immer in $\zeta$ ist.
Stell es dir einmal anschaulich vor. Nimm dir zwei Mengen die entweder selbst endlich sind oder deren Komplement endlich ist. Egal was du von wem abziehst, es kommt immer entweder eine Endliche Menge raus, oder eine Menge deren Komplement endlich ist. Es kann niemals etwas rauskommen wie zum Beispiel $\Q$.
Insbesondere brauchst du für den Fall, dass eine endliche Menge rauskommt gar nicht mit Einelementigen Mengen hantieren. Die Menge selbst ist ja schon in $\zeta$ und somit ist sie auch eine disjunkte Vereinigung (einer einelementigen Familie) von Mengen aus $\zeta$.
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Mathjou
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Dankeschön. Ich habe also die ganze Zeit die Definition falsch interpretiert



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-27

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2019-10-27 02:07 - Mathjou in Beitrag No. 4 schreibt:
Dankeschön. Ich habe also die ganze Zeit die Definition falsch interpretiert

Guten Morgen.
Die Definition ist korrekt, aber das Beispiel welches dir vorliegt erfüllt sogar eine stärkere Bedingung, nämlich $S\setminus T\in \zeta$.
Diese ist trivialerweise erfüllt. Hat sich das Problem für dich erledigt oder hast du noch Fragen?
Falls es sich erledigt hat bitte auf das Häckchen klicken.
Viele Grüße
\(\endgroup\)


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