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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Ideales Gas, Adiabatische Expansion, Wert der aufgenommenen Hitze
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Universität/Hochschule J Ideales Gas, Adiabatische Expansion, Wert der aufgenommenen Hitze
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-30


Hallo alle zusammen,

wir wissen, dass $p^3V^5 = \text{const.}$ für ein Gas in adiabatischer Expansion gilt. Die Aufgabe lautet:

,,Find the value of heat consumed by the gas as well as the work done in the process which is represented on $p-V$ diagram by a straight line from a state $V=10^{-3}m^3, p = 10^5 \text{Pa}$ to a state $V=8\cdot 10^{-3} \ \text{m}^3, p = 10^5/32 \ \text{Pa}$."

$>$ Ich verstehe noch nicht so ganz, wie Wärme dem System zugeführt werden kann, wenn eine adiabatische Expansion vorliegt. Adiabatische Expansion heißt doch, dass $\Delta Q = 0$, womit doch $Q=\text{const.}$, oder nicht?


-- Neymar



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-30


Hallo Neymar,
2019-10-30 15:51 - Neymar im Themenstart schreibt:
wir wissen, dass $p^3V^5 = \text{const.}$ für ein Gas in adiabatischer Expansion gilt.
... nur für einatomige Gase, natürlich. Dann ist der Adiabatenexponent tatsächlich $\frac53$, bei zweiatomigen Gasen wäre er aber z.B. $\frac75$.
Das plötzliche Komprimieren zum Beispiel von Luft in einer Luftpumpe läuft in guter Näherung adiabatisch ab. Du leistest mechanische Arbeit und führst damit Energie zu. Ein Wärmeaustausch mit der Umgebung (oder dem Luftpumpengehäuse) findet nicht statt, also erhöhst Du die innere Energie des Gases. Die Differenz der inneren Energie vor und nach der adiabatischen Zustandsänderung ist hier mit "heat consumed by the gas" gemeint. Da $\Delta Q=0$ ist, ist offensichtlich die Änderung der inneren Energie gleich der zugeführten mechanischen Energie.

Ciao,

Thomas



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-31


Hallo MontyPythagoras.

2019-10-30 18:40 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
2019-10-30 15:51 - Neymar im Themenstart schreibt:
wir wissen, dass $p^3V^5 = \text{const.}$ für ein Gas in adiabatischer Expansion gilt.
... nur für einatomige Gase, natürlich. Dann ist der Adiabatenexponent tatsächlich $\frac53$, bei zweiatomigen Gasen wäre er aber z.B. $\frac75$.

$>$ Okay, die Aufgabe schreibt nicht explizit, dass wir ein einatomiges Gas vorliegen haben, also wird das einfach angenommen.

Das heißt um den Betrag der aufgenommenen Wärme zu berechnen, brauche ich einfach nur die verrichtete Arbeit zu berechnen und dieses Ergebnis schreibe ich auch bei der Wärme hin?


-- Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-31


"[...] as well as the work done in the process [...]."

$>$ $C := p^3V^5$, dann erhalte ich: $\Delta W = \frac{225}{2}\sqrt[3]{C} = \frac{225}{2} pV^{5/3}$. Ist dies richtig? :-)

PS: Wenn wir ein Gas mit einer internen Energie \[\mathscr E = \frac{5}{2}pV + \text{const.}\qquad \left(\star\right)\] betrachten und zum Beispiel die Arbeit im Prozess entlang einer geraden Linie $A\rightarrow B$, wobei $A: V=0.01\ \text{m^3}, p=0.2\ \text{MPa}, \ \ B: V=0.03\ \text{m^3}, p=0.2\ \text{MPa}$ betrachten, dann kann ich dich nicht einfach nur $\left(\star\right)$ nach $p$ auflösen und dann das Integral berechnen, oder?




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-31


Hallo Neymar,
ganz allgemeine Herleitung: stell Dir einen Zylinder und Kolben vor (so merke ich mir das). Mechanische Arbeit ist ja allgemein
$$W=\int F \mathrm ds$$Hast Du einen Kolben, der auf das Gas drückt, dann ist
$$W=\int A\cdot p\mathrm ds$$Wobei $A\mathrm ds=-\mathrm dV$ ist (positiver Weg, also Komprimieren, verringere das Volumen). Daher gilt:
$$W=-\int p\mathrm dV$$Du benötigst also $p$ in Abhängigkeit von $V$, um das Integral zu berechnen. Nichts einfacher als das. Mit dem Adiabatenkoeffizienten $\kappa=\tfrac53$ gilt ja
$$pV^{\kappa}=p_0V_0^{\kappa}$$Wobei der Index 0 auf den beliebigen Startzustand hindeutet. Also:
$$p(V)=p_0\left(\frac V{V_0}\right)^{-\kappa}$$Damit solltest Du es hinbekommen.

Ciao,

Thomas



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Der Trick in der Aufgabe ist, dass die Energie $d\mathcal E$ wegunabhängig ist, da wir ein totales Differenzial vorliegen haben.

Also kann die Energie entlang eines bel. Weges berechnet werden,
insbesondere auch entlang eines adiabtischen Weges, wo $\deltaQ=0$.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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