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Universität/Hochschule J Grenzwert von Folgen vs. von Funktionen
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-08


Hallo,

ich habe Schwierigkeiten beim Verstehen der Unterschiede zwischen dem Grenzwertbegriff fuer Folgen und fuer Funktionen bzw wann dieser exisitert und wann nicht.

In meinem Skript (und auch auf Wikipedia wird gesagt, dass deine Funktion f in einem Punkt x_0 konvergieren kann, d.h. dass der limes x->x_0 existieren kann, auch wenn x_0 gar nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt.

Aber wenn es um die Vollstaendigkeit von den reelen Zahlen geht, dann sagt man ja gerade, dass zB die Babylonische Folge (oder irgendeine rationale Folge die gegen eine irrationale Zahl konvergiert) in Q nicht konvergiert, weil der Grenzwert nicht in Q liegt, d.h., nicht im Definitionsbereich der Folge liegt.

Ich frage mich nun, warum beim Grenzwertbegriff fuer Funktionen der Grenzwert, bzw das Urbild des Grenzwertes, nicht definiert sein muss, bzw nicht existieren muss - beim Grenzwertbegriff fuer Folgen aber gefordert wird, dass der Grenzwert auch wirklich existiert?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Gast123,

in beiden Fällen müssen die Grenzwerte existieren. Der Unterschied ist gar nicht so groß: betrachten wir einmal die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) und deren Grenzwert für \(x\to \infty\). Auch hier liegt \(x\) nicht mehr im Definitionsbereich, denn \(\infty\) ist keine reelle Zahl. Aber der Grenzwert existiert.

Nun gibt es Funktionen, die nur auf einem offenen Intervall definiert sind, oder die Definitionslücken haben, usw. Auch dort kann man natürlich an den Rändern bzw. zu den Lücken hin Grenzwertbertachtungen anstellen. Wenn ein solcher Grenzwert existiert, liegt aber die entsprechende Stelle naturgemäß auch nicht im Definitionsbereich.

Insbesondere reden wir hier ja im einfachsten Fall von vornherein von Funktionen des Typs \(\IR\to\IR\).

Bei Folgen verhält es sich ja zunächst einmal so, dass man unter dem Folgengrenzwert grundsätzlich den Grenzwert für \(n\to \infty\) versteht.

Wenn man jetzt aber Folgen in \(\IQ\) betrachtet, dann kann es (wie du sagst) passieren, dass der Grenzwert einer solchen Folge irrational ist. Das spielt sich ja aber grundsätzlich im Bildbereich ab und nicht im Urbild, hat also mit Fragen des Definitionsbereichs überhaupt nichts zu tun.

Wenn man eben in \(\IQ\) bleiben möchte, dann existiert dort ein solcher Grenzwert nicht weil die irrationalen Zahlen sich ja - wie ihr Name schon asudrückt - genau dadurch auszeichnen, dass sie nicht in \(\IQ\) liegen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-08


Es gibt noch einen Unterschied zwischen Grenzwerten von Folgen und von Funktionen.

Betrachtet man eine Folge und ihren (möglicherweise existierenden) Grenzwert, so steht die Folge fest.
Betrachtet man eine Funktion und ihren Grenzwert an einer bestimmten Stelle x0, so gibt es ja nicht nur _eine_ Folge, die gegen x0 konvergiert.
Es gibt Funktionen, bei denen zwar für einige Folgen die gegen x0 konvergieren auch die Funktionswerte konvergieren, für andere Folgen das aber nicht der Fall ist.

Ein Beispiel ist die Funktion $f(x)=\sin(1/x)$ für $x\in\IR-\{0\}$. Hier kann man für jeden beliebigen Wert y zwischen -1 und 1 Nullfolgen angeben, deren Funktionswerte gegen y konvergieren.




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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


Hallo Diophant und Kitaktus,

vielen Dank fuer eure Antworten, das hat meine Frage beantwortet. Ich habe tatsaechlich nicht beruecksichtigt, dass es in dem einen Fall ja um das Bild und nicht das Urbild ging. Super, danke!



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