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Mathematik » Numerik & Optimierung » Matrixnorm abschätzen
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Universität/Hochschule Matrixnorm abschätzen
DaniFe
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.01.2016
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-08 12:38


Hallo,
Ich lese gerade ein Paper und für einen Beweis wird eine Aussage verwendet, die ich gerne beweisen würde, aber leider komme ich nicht darauf.

Wir haben eine ganzzahlige Matrix A, deren Eigenwerte alle betragsmäßig größer als 1 sein sollen.
Dann sind alle Eigenwerte der Matrix fed-Code einblenden

Die Aussage ist nun
fed-Code einblenden

Die Beweisidee ist nun, dass man die Matrix A in ihre Jordanform schreibt oder mithilfe der Formel für den Spektralradius.
Aber leider komme ich damit nicht wirklich weiter.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?



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Goswin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1336
Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08 23:30


2019-11-08 12:38 - DaniFe im Themenstart schreibt:
Wir haben eine ganzzahlige Matrix \(A\), deren Eigenwerte alle betragsmäßig größer als 1 sein sollen. Dann sind alle Eigenwerte der Matrix \(A^{-1}\) betragsmäßig kleiner als 1. Die Aussage ist nun
\[\|A^{-j} x\| \le C\,\lambda^j \|x\|\quad
\text{für alle}~ x\in\mathbb{R}^n~,\] wobei \(C,\lambda\) positive Konstanten sind und \(\lambda<1\).

Es sei \(A^{-1}\,u=\lambda u\), wobei \(\lambda\) der Eigenwert von \(A^{-1}\) mit dem größtem Betrag ist und \(|\lambda|<1\) erfüllt. Nun gilt

\((A^{-1})^j\,u ~=~ (A^{-1})^{j-1}(A^{-1})\,u
 ~=~ (A^{-1})^{j-1}(\lambda\,u)
 ~=~ \lambda\,(A^{-1})^{j-1}\,u\)

und über ein Induktionsargument dann \(A^{-j}\,u=\lambda^j\,u\), weshalb \(\lambda^j\) ein Eigenwert von \(A^{-j}\) ist. Da wir dieses Argument für alle Eigenwerte wiederholen können, ist \(\lambda^j\) derjenige Eigenwert  von \(A^{-j}\) mit dem größten Betrag. Dann aber gilt bei der Spektralnorm \(\|\cdot\|\)

\(\|A^{-j}\,x\| ~\le~ |\lambda^j|\,\|x\| ~=~ |\lambda|^j\,\|x\|\)

für jedes \(x\in\mathbb{R}^n\). Falls wir eine andere Norm benutzen, muss eine zusätzliche Konstante \(C\) eingefügt werden, die von der jeweiligen Norm abhängt.


-----------------
/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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murgel
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2010
Mitteilungen: 56
Aus: Houston, USA
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-08 23:41


2019-11-08 23:30 - Goswin in Beitrag No. 1 schreibt:
Es sei \(A^{-1}\,u=\lambda u\), wobei \(\lambda\) der Eigenwert von \(A^{-1}\) mit dem größtem Betrag ist und \(|\lambda|<1\) erfüllt. Nun gilt

\((A^{-1})^j\,u ~=~ (A^{-1})^{j-1}(A^{-1})\,u
 ~=~ (A^{-1})^{j-1}(\lambda\,u)
 ~=~ \lambda\,(A^{-1})^{j-1}\,u\)

und über ein Induktionsargument dann \(A^{-j}\,u=\lambda^j\,u\), weshalb \(\lambda^j\) ein Eigenwert von \(A^{-j}\) ist. Da wir dieses Argument für alle Eigenwerte wiederholen können, ist \(\lambda^j\) derjenige Eigenwert  von \(A^{-j}\) mit dem größten Betrag. Dann aber gilt

\(\|A^{-j}\,x\| ~\le~ |\lambda^j|\,\|x\| ~=~ |\lambda|^j\,\|x\|\)

für jedes \(x\in\mathbb{R}^n\).

Für die Spektralnorm, also für $\|\cdot\|=\|\cdot\|_2$, sollte das so funktionieren. Für andere Normen braucht man ggf. dann noch die Äquivalenz von Normen auf $\mathbb R^n$ und $\mathbb R^{n\times n}$, was die Konstante $C$ im ursprünglichen Beitrag erkären würde.



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Goswin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1336
Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-10 00:22



2019-11-08 23:30 - Goswin in Beitrag No. 1 schreibt:
Über ein Induktionsargument ist \(A^{-j}\,u=\lambda^j\,u\), weshalb \(\lambda^j\) ein Eigenwert von \(A^{-j}\) ist. Da wir dieses Argument für alle Eigenwerte wiederholen können, ist \(\lambda^j\) derjenige Eigenwert  von \(A^{-j}\) mit dem größten Betrag.

2019-11-08 23:41 - murgel in Beitrag No. 2 schreibt:
Für die Spektralnorm, also für $\|\cdot\|=\|\cdot\|_2$, sollte das so funktionieren...

... wenn die Eigenwerte von \(A^{-1}\) alle verschieden sind. Wenn sie sich wiederholen, müsste wohl noch gezeigt werden, dass die Multiplizität dieselbe ist. Falls \(A^{-1}=Q^{-1}J\,Q\) mit Jordanmatrix \(J\) ist, dann gilt auch \(A^{-k}=Q^{-1}J^k\,Q\); und da \(J\) eine Dreiecksmatrix ist, sind die Eigenwerte von \(J^k\) genau die Potenzen der Eigenwerte von \(J\).



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