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Teilbarkeit » Kongruenzen » (a/n)=1, aber a quadratischer nicht-Rest mod n
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Universität/Hochschule (a/n)=1, aber a quadratischer nicht-Rest mod n
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-08 12:44


Wie bekommt man eine Lösung a für (a/n) das Jakobisymbol?
ursprünglicher Beitrag schreibt:
Hallo Leute!

Ich hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe:

Wir haben ein \(n\in \mathbb{N},\) \(n>1,\) n keine Primzahl, n ungerade und quadratfrei. Wir müssen jetzt ein a finden, für das gilt \((\frac{a}{n})=1\), wobei  \((\frac{a}{n})\) das Jacobisymbol bezeichnet, aber a ein quadratischer nicht-Rest mod n ist.

Meine Idee wäre: Da n quadratfrei ist, gilt \(n=p_1...p_s\) und damit a ein quadratischer Rest mod n wäre, müssten die linearen Kongruenzen modulo aller \(p_i\) erfüllt sein. Also, da es ja ein quadratischer nicht-Rest sein soll, muss mindestens eine der Kongruenzen verletzt sein.

Mit dem oberen und damit \((\frac{a}{n})=1\), muss jetzt immer eine gerade Anzahl, z.B. zwei, der Kongruenzen verletzt sein. Wie findet man jetzt ein a, das nur 2 der Kongruenzen verletzt und den Rest erfüllt?

Vielen Dank schon einmal!



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08 18:36


2019-11-08 12:44 - ArmoredGatto im Themenstart schreibt:
Wie findet man jetzt ein a, das nur 2 der Kongruenzen verletzt und den Rest erfüllt?
Hi ArmoredGatto,
mit dem chineschen Restsatz.
Gruß Buri



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08 19:46


Hallo Buri!

Der chinesische Restsatz funktioniert auch wenn man zwei inkongruente Gleichungen hat? Wie kann man das aus dem Restsatz sehen?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-08 20:00


Hi ARmoredGatto,
mit Inkongruenzen kann man beim chineischen Restsatz nicht arbeiten.
Du musst den Rest für zwei der s Primzahlen auf einen quadratischen Nichtrest und für die übrigen Primzahlen auf einen quadratischen Rest setzen.
Gruß Buri



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08 20:10


Hallo Buri!

Das heißt, wenn ich mit dem chinesischen Restsatz die Lösung c für z.b. \(p_3,...,p_s\) wie folgt nehme
\(c\equiv x^2\) mod \(p_i\) \(\forall i = 3,...,s\)
und für die ersten beiden jeweils den kleinsten quadratischen Nicht-Rest \(n(p_1)\) und \(n(p_2)\), dann würde es funktionieren? Wie würde dann aber die gemeinsame Lösung aussehen?



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