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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-08 20:46

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Hallo Forum.
Ich lese gerade etwas über Galois-Darstellungen und habe auch schon eine erste Frage.
Eine Artin Darstellung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
$$\rho\colon \aga{\Q}\to \GL_n(\C)$$ mit offenem Kern.

Eine $\ell$-adische Darstellung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
$$\gamma\colon \aga{\Q}\to \GL_n(\cl{\Ql})$$.

Dann lese ich in einem Artikel:

Fixiere Einbettungen $\tau\colon \cl{\Q}\hk \C$ und $\tau_\ell\colon \cl{\Q}\hk \cl{\Ql}$. Dann gibt es eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen von Artin-Darstellungen und Isomorphiklassen von $\ell$-adischen Darstellungen mit offenem Kern.

Nehmen wir uns also beispielsweise einmal eine Artin-Darstellung im Fall $n=1$: $\rho\colon \aga{\Q}\to \units{\C}$. Wir wollen nun eine $\ell$-adische Darstellung $\gamma$ mit offenem Kern definieren. Wie soll das gehen?
Sei $\s\in\aga{\Q}$ beliebig und $\lam=\rho(\s)\in\units{\C}$. Wie definiert man nun $\gamma(\s)\in\cl{\Ql}$?

Stelle ich mich zu dumm oder verstehe ich etwas falsch?
Viele Grüße
XST



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-09 00:54


Vielleicht geht es so:

Sei $\rho$ eine Artin-Darstellung. Dass $\ker(\rho)$ offen ist, bedeutet, dass $\mathrm{im}(\rho)$ endlich ist. Also landet man in $\mathrm{GL}_n(L)$ für einen endlich-erzeugten Teilkörper $L \subseteq \IC$. Dann gibt es aber eine Einbettung $L \hookrightarrow \overline{\IQ_{\ell}}$, und man bekommt eine $\ell$-adische Darstellung.

Hat man umgekehrt eine $\ell$-adische Darstellung, so ist ihr Bild eine kompakte Untergruppe von $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ_{\ell}})$, welche also in einem $\mathrm{GL}_n(E)$ für endliches $E/\IQ_{\ell}$ enthalten ist (Lemma 10.2 in math.mit.edu/~cctsai/18.786/LN/Part2.pdf ). Dann gibt es aber eine Einbettung $E \hookrightarrow \IC$ und man bekommt eine Artin-Darstellung (?).

EDIT: Ich sehe gerade erst, dass man auch nur $\ell$-adische Darstellungen mit offenem Kern (also endlichem Bild) betrachtet. Dann braucht man das Lemma also gar nicht.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-09 12:53

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2019-11-09 00:54 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Vielleicht geht es so:

Sei $\rho$ eine Artin-Darstellung. Dass $\ker(\rho)$ offen ist, bedeutet, dass $\mathrm{im}(\rho)$ endlich ist. Also landet man in $\mathrm{GL}_n(L)$ für einen endlich-erzeugten Teilkörper $L \subseteq \IC$. Dann gibt es aber eine Einbettung $L \hookrightarrow \overline{\IQ_{\ell}}$, und man bekommt eine $\ell$-adische Darstellung.

Hat man umgekehrt eine $\ell$-adische Darstellung, so ist ihr Bild eine kompakte Untergruppe von $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ_{\ell}})$, welche also in einem $\mathrm{GL}_n(E)$ für endliches $E/\IQ_{\ell}$ enthalten ist (Lemma 10.2 in math.mit.edu/~cctsai/18.786/LN/Part2.pdf ). Dann gibt es aber eine Einbettung $E \hookrightarrow \IC$ und man bekommt eine Artin-Darstellung (?).

Hallo Triceratops und Danke für den Hinweis.
Ich habe zwei Fragen:
$\bul$ Warum bekommt man eine Einbettung $E\hk \C$? Immerhin gilt $\Q_\ell\sube E$ (die Einbettung $L\hk \cl{\Ql}$ ist mir klar )?
$\bul$ Warum bekommt man eine $\ell$-adische Darstellung, wenn man eine Einbettung $E\hk \cl{\C}$ hat? (und umgekehrt, warum bekommt man eine $\ell$-adische Darstellung, wenn man eine Einbettung $L\hk \cl{\Ql}$ hat?)

Die Aussage stammt aus einem Artikel von Taylor:


Viele Grüße
XST
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-09 13:45


Bei Wikipedia steht, dass man einen Isomorphismus zwischen $\IC$ und $\overline{\IQ_{\ell}}$ verwenden soll. Es gibt zwar einen Körperisomorphismus (denn beides sind algebraisch abgeschlossene Körper vom Transzendenzgrad $2^{\aleph_0}$ über $\IQ$), aber keinen stetigen. Daher ist mir die Korrespondenz jetzt auch nicht klar.

Edit: Ich habe jetzt schon an zwei Stellen gelesen, dass bei einer Artin-Darstellung das Bild automatisch endlich ist (also der Kern offen ist), also dass man das gar nicht fordern muss. Vermutlich liegt es an so etwas wie, dass $\mathrm{GL}_n(\IC)$ lokal zusammenhängend ist (ja sogar eine Mannigfaltigkeit), aber die absolute Galoisgruppe total unzusammenhängend ist (?).



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-09 14:33


Kann man denn jede Darstellung einer endlichen Gruppe über $\IC$ schon über $\overline{\IQ}$ definieren? Ich durchschaue das gerade nicht, aber vermutlich folgt das direkt aus der klassischen Darstellungstheorie.
 
Eine Artin-Darstellung faktorisiert als $G_{\IQ} \xrightarrow{\text{res}} \mathrm{Gal}(E/\IQ) \to \mathrm{GL}_n(\IC)$ für eine endliche Galois-Erweiterung $E/\IQ$. Wenn obiges stimmt, faktorisiert $\mathrm{Gal}(E/\IQ) \to \mathrm{GL}_n(\IC)$ (bis auf Isomorphie) über $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ})$. Wenn man jetzt $\overline{\IQ} \hookrightarrow \overline{\IQ_{\ell}}$ fixiert, landet man also in $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ_{\ell}})$. Die Stetigkeit ist trivial, weil $\mathrm{Gal}(E/\IQ)$ endlich diskret ist.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-09 14:41

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2019-11-09 13:45 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Bei Wikipedia steht, dass man einen Isomorphismus zwischen $\IC$ und $\overline{\IQ_{\ell}}$ verwenden soll. Es gibt zwar einen Körperisomorphismus (denn beides sind algebraisch abgeschlossene Körper vom Transzendenzgrad $2^{\aleph_0}$ über $\IQ$), aber keinen stetigen. Daher ist mir die Korrespondenz jetzt auch nicht klar.

Edit: Ich habe jetzt schon an zwei Stellen gelesen, dass bei einer Artin-Darstellung das Bild automatisch endlich ist (also der Kern offen ist), also dass man das gar nicht fordern muss. Vermutlich liegt es an so etwas wie, dass $\mathrm{GL}_n(\IC)$ lokal zusammenhängend ist (ja sogar eine Mannigfaltigkeit), aber die absolute Galoisgruppe total unzusammenhängend ist (?).
Danke für die Hinweise. Es könnte ein Tippfehler sein.
Jetzt wo du es ansprichst fällt mir ein, dass wir mal diese Übung hier hatten in einer Vorlesung über Lokale Klasskörpertheorie:

$\GL_n(\C)$ hat keine kleinen Untergruppen (no small subgroups argument), und eine pro-endliche Untergruppe hat "beliebig kleine Untergruppen". Das ist grob gesagt der Grund. Dann stellt sich die Frage, warum R.Taylor das in der Definition explizit verlangt.


 

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2019-11-09 14:33 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann man denn jede Darstellung einer endlichen Gruppe über $\IC$ schon über $\overline{\IQ}$ definieren? Ich durchschaue das gerade nicht, aber vermutlich folgt das direkt aus der klassischen Darstellungstheorie.
 
Eine Artin-Darstellung faktorisiert als $G_{\IQ} \xrightarrow{\text{res}} \mathrm{Gal}(E/\IQ) \to \mathrm{GL}_n(\IC)$ für eine endliche Galois-Erweiterung $E/\IQ$. Wenn obiges stimmt, faktorisiert $\mathrm{Gal}(E/\IQ) \to \mathrm{GL}_n(\IC)$ (bis auf Isomorphie) über $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ})$. Wenn man jetzt $\overline{\IQ} \hookrightarrow \overline{\IQ_{\ell}}$ fixiert, landet man also in $\mathrm{GL}_n(\overline{\IQ_{\ell}})$. Die Stetigkeit ist trivial, weil $\mathrm{Gal}(E/\IQ)$ endlich diskret ist.
Hallo Triceratops.
Da $E/\Q$ endlich also insbesondere algebraisch ist folgt ja $E\sube \cl{\Q}$. So bekommt man dann eine Einbettung $\GL_n(E)\hk \GL_n(\cl{\Q})$ indem man eine Matrix mit Koeffizienten in $E$ als eine mit Koeffizienten in $\cl{\Q}$ auffasst. EDIT:
Obwohl das stimmt bringt es nichts.Ich habe $\qgal{E}$ mit $\GL_n(E)$ verwechselt. Danke für den Hinweis.

EDITEDIT: Ich mache erstmal weiter und versuche mir einen Überblick über die Themen zu verschaffen und greife die Frage eventuell nochmal später auf. Vielen Dank für die hilfreichen Antworten.
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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-09 20:08


Hi,

2019-11-09 13:45 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Bei Wikipedia steht, dass man einen Isomorphismus zwischen $\IC$ und $\overline{\IQ_{\ell}}$ verwenden soll. Es gibt zwar einen Körperisomorphismus (denn beides sind algebraisch abgeschlossene Körper vom Transzendenzgrad $2^{\aleph_0}$ über $\IQ$), aber keinen stetigen. Daher ist mir die Korrespondenz jetzt auch nicht klar.

Edit: Ich habe jetzt schon an zwei Stellen gelesen, dass bei einer Artin-Darstellung das Bild automatisch endlich ist (also der Kern offen ist), also dass man das gar nicht fordern muss. Vermutlich liegt es an so etwas wie, dass $\mathrm{GL}_n(\IC)$ lokal zusammenhängend ist (ja sogar eine Mannigfaltigkeit), aber die absolute Galoisgruppe total unzusammenhängend ist (?).

ja, man kann en.wikipedia.org/wiki/Closed-subgroup_theorem ausnutzen.

Es verhalten sich auch $\ell$-adische und $p$-adische Galoisdarstellungen $p$-adischer Körper ganz unterschiedlich, weil die wilde Trägheitsgruppe eine pro-$p$-Gruppe ist und ihre $\ell$-adischen Darstellungen auch endliches Bild haben.



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