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 Topologische Äquivalenzen |
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Aufdersuche
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Dabei seit: 12.11.2019
Mitteilungen: 2
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Hallo,
ich habe Problem mit Metriken bzw. Topologischen Räumen. Mir ist im Prinzip klar was das sein soll, aber die folgende Aufgabe erscheint mir noch nicht ganz klar:
$$\begin{array}{l}{ \text { Es seien } p, \ell \in[1, \infty] \text { . Zeige, dass jede offene Kugel in }\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{\ell}\right) \text { eine offene Menge }} \\ {\text { in }\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{p}\right) \text { ist. Zeige also: Für alle Punkte } a \in \mathbb{R}^{n} \text { und alle Radien } r>0 \text { ist die }} \\ {\text { Menge }\left\{x \in \mathbb{R}^{n} |\|x-a\|_{\ell}<r\right\} \text { offen in }\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{p}\right)}\end{array}$$
Ich weis, dass mir folgendes helfen kann:
$$\text { Für alle } p \in[1, \infty) \text { und } x \in \mathbb{R}^{n} \text { gilt }\|x\|_{\infty} \leq n^{1 / p}\|x\|_{\infty}$$
und
$$\text { Für alle } x \in \mathbb{R}^{n} \text { gilt } \lim _{p \rightarrow \infty}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}$$
bloß weis ich nicht wie?(
Was bedeutet überhaupt "offene Kugel in $$(\mathbb R^n, ||\cdot||_p)$$ ist eine offene Menge in$$(\mathbb R^n, ||\cdot||_p)$$"? Vielleich kann mir einer den Gedanken dieser Aufgabe verdeutlichen.
Danke.\(\)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 760
|      Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-12
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Hallo,
willkommen auf dem MP!
Woher weißt du, dass diese Fakten über Normen helfen, wenn du nicht weißt wie?
Du fragst, was die Aufgabenstellung überhaupt ist. Wie habt ihr denn offene Menge definiert? Und wie habt ihr offene Kugel definiert? Diese Begriffe nachzuschlagen, sollte der erste Schritt sein.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Aufdersuche
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Dabei seit: 12.11.2019
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12
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Ok, danke.
1)Eine Teilmenge V eines topologischen Raumes X ist genau dann offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
2)Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement X\A offen ist.
Ich denke ich habe meine Frage falsch gestellt.
Ich habe in meinem Script und in anderer Literatur nach geschlagen, aber nicht verstanden was die l-norm sein soll. Ist das was spezielles oder? Wie die p-norm definiert ist, weis ich. Das ist:
$$
\|f\|_{p}=\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}
$$
aber wie ist die l-norm definiert? Warscheinlich genauso aber mit einem l statt einem p oder? Wenn dem so wäre, wüsste ich halt nie wie ich diese Aussage verstehen soll.
$$
\begin{array}{l}{\text { Es seien } p, \ell \in[1, \infty] \text { . Zeige, dass jede offene Kugel in }\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{\ell}\right) \text { eine offene Menge }} \\ {\text { in }\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{p}\right) \text { ist.}}\end{array}
$$
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 760
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-13
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Ja, die $\ell$-Norm ist hier die $p$-Norm bloß mit einem (nicht notwendig) unterschiedlichen Parameter.
Eine offene Kugel mit Mittelpunkt $x_0$ und Radius ist von der Form $$B_R(x_0) = \{x : \| x-x_0 \| < R \}.$$ Eine Menge $U \subseteq \mathbb{R}^n$ heißt offen, wenn es zu jedem $x_0 \in U$ ein $R > 0$ gibt mit $B_R(x_0) \subseteq U$. Diese Charakterisierung ist äquivalent zu der Definition, die du erwähnt hast. (Beachte, dass Normen angepasst werden müssen.)
Vielleicht habt ihr diese Sachen in der Vorlesung gemacht. Um bei der Aufgabe zu starten, solltest du dir diese Konzepte klar machen.
Nehme nun eine offene Kugel in $(\mathbb{R}^n, \|\cdot \|_\ell)$ und beweise mit den obigen Definitionen, dass die Kugel offen in $(\mathbb{R}^n, \| \cdot \|_p)$ ist.
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