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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-12 21:43


Guten Abend

Ich soll das Radikal im Ring R=\(\mathbb{C}\)[x] berechnen des Ideals \(I=(x^2-2x+1)\). Dabei verstehe ich aber nur schon die Struktur/Form meines Ideals nicht, wenn ich sage \(x\in I\) dann ist \(x=(x^2-2x+1)*y\), wobei \(y\in \mathbb{C}\)?

Kann mir jemand da weiterhelfen?

Vielen Dank und gruss
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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-12 22:07

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2019-11-12 21:43 - Math_user im Themenstart schreibt:
Guten Abend

Ich soll das Radikal im Ring R=\(\mathbb{C}\)[x] berechnen des Ideals \(I=(x^2-x+1)\). Dabei verstehe ich aber nur schon die Struktur/Form meines Ideals nicht, wenn ich sage \(x\in I\) dann ist \(x=(x^2-x+1)*y\), wobei \(y\in \mathbb{C}\)?

Kann mir jemand da weiterhelfen?

Vielen Dank und gruss
Math_user
Hi Math_user.
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $(x)\sube R$ das von $x$ erzeugte Ideal. Dann gilt $(x)=\set{y\in R}{y=rx\tx{für ein}r\in R}$.
Ist es jetzt klar?


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-12 23:02


$I$ besteht aus den Polynomen der Form $(x^2 - x + 1) \cdot f$ mit $f \in \IC[x]$. Das sind also die Polynome, die durch $x^2-x+1$ teilbar sind. Sicherlich ist $x$ nicht durch $x^2-x+1$ teilbar (das geht schon aus Gradgründen nicht).

Das Radikalideal eines Hauptideals in einem faktoriellen Ring $R$ lässt sich allgemein bestimmen: Ist $0 \neq a \in R$ mit Primfaktorzerlegung $a = u \cdot p_1^{k_1} \dotsc p_n^{k_n}$, wobei $k_i \geq 1$, so gilt

$\mathrm{rad}(\langle a \rangle) = \langle p_1 \cdots p_n \rangle.$

Mache dir das am besten einmal allgemein klar. Der Beweis ist nicht schwierig.

Man wendet das hier dann auf $R = \IC[x]$ und $a = x^2-x+1$ an. Man muss sich also nur noch überlegen, was hier die Primfaktorzerlegung ist. Weil das Polynom Grad $2$ hat, muss man dazu nur die Nullstellen bestimmen, und schauen ob die beiden Nullstellen zusammenfallen (was dann die Primfaktorzerlegung $(x-r)^2$, $r \in \IC$, wäre) oder nicht (was dann die Primfaktorzerlegung $(x-r)(x-s)$ mit $r,s \in \IC$, $r \neq s$ wäre).



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 07:53


Guten Morgen

Vielen Dank Triceratops und xiao_shi_tou_ für eure Antworten! Nun kann ich die Aufgabe angehen. Ich habe mir mal mein Ideal \((x^2-2x+1)\) genauer angeschaut und bemerkt, dass dieser sehr schön in Linearfaktoren zerfällt, sprich \((x^2-2x+1)=(x-1)^2\) (wie Triceratops schon geschrieben hat). Nun kommt aber laut der Definition des Radikals (\(rad(I)=\{r\in R :\exists \:n \in  \mathbb{C}[x] \:s.d. r^n \in I \}\)) nur \((x-1)\) in Frage, da diese die kleinste Menge ist, die diese Eigenschaft erfüllt. Stimmt meine Überlegung?

@Triceratops da in der Aufgabenstellung steht berechnen, denke ich nicht dass ein allgemeiner Beweis nötig ist. Aber bei Gelegenheit werde ich gerne darüber nachdenken. Jedoch nimmt mich wirklich wunder, wieso du stets \((*)\) vermeidest ^^'



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-13 08:50


In Beitrag $0$ steht $x^2-x+1$, nicht $x^2-2x+1$.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 09:11


2019-11-13 08:50 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
In Beitrag $0$ steht $x^2-x+1$, nicht $x^2-2x+1$.



Korrekt, vielen Dank für den Hinweis. Dies ist ein Fehler! Ich meine \(x^2-2x+1\)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-13 09:43


Ok. Du möchtest also $\mathrm{rad}((x-1)^2) = (x-1)$ zeigen.

Was du dazu in Beitrag 3 gesagt hast, reicht nicht als Beweis aus.

Es muss ja gezeigt werden: Für $f \in \IC[x]$ gilt genau dann $x-1 \mid f $, wenn es ein $k \geq 0$ gibt mit $(x-1)^2 \mid f^k$.

Benutze die Primfaktorzerlegung (man kommt also um das Argument, was ich in Beitrag 2 angedeutet habe, nicht herum).



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 21:51


Ich ehrlicherweise sagen, ich bin noch ein wenig verwirrt mit deinem Argument aus Beitrag 2. Ich versuche aber $\mathrm{rad}((x-1)^2) = (x-1)$ zeigen durch doppelte Inklusion. Jedoch komme ich gerade bei \(rad((x-1)^2)\subset (x-1)\) nicht weiter. Soweit bin ich:
Sei \(x\in rad((x-1)^2)\Rightarrow \exists\: n \in \mathbb{N}\:s.d.\:x^n\in(x-1)\Rightarrow\exists\ k \in \mathbb{C}[x]\:s.d.\:x^n=(x-1)*k)\) aber nun komme ich nicht weiter... Ich möchte ja gerne erhalten: \(x\in(x-1)\)

Kann mir jemand helfen? Vielen Dank! :)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-13 23:28


Wieso jetzt auf einmal $(x^2-1)$?

Hast du meinen Tipp gelesen?

Primfaktorzerlegung



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 23:46


Guten Abend Triceratops

Erstmals, vielen Dank für deine Mühe und Geduld. Ich habe dein Tipp mit Primfaktorzerlegung gelesen, nur sehe ich nicht inwiefern mir das weiter hilft. Also ich versuche es mal ganz langsam: Primfaktorzerlegung heisst man kann eine natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben.  Aber ich weiss nicht wie dies mir weiter hilft, tut mir leid :/

PS: Habe meinen Fehler oben korrigiert, danke für den Hinweis



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-14 00:00


In $\IC[x]$ gibt es eine Primfaktorzerlegung (weil dieser Ring faktoriell ist). Zum Beispiel ist $x-1$ irreduzibel also prim.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 00:14





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 00:30


Wenn ich also meine Beitrag 7 wieder aufnehme, folgt: \(\Rightarrow\exists\ k \in \mathbb{C}[x]\:s.d.\:x^n=(x-1)*k)\Rightarrow (x-1)\mid x^n \Rightarrow (x-1)\mid x\:oder\:(x-1)\mid x^{n-1}\Rightarrow ... \) man kommt so oder so schlussendlich auf \((x-1)\mid x\) aber wie komme ich nun zu \(x\in (x-1) \)?



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