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Universität/Hochschule J Herleitung Kurvenintegrale
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-13 12:24


Hallo Planetarier,

es geht um diesen Textabschnitt, den ich nicht raffe:



Ich verstehe diesen Schritt nicht (liegt vielleicht daran, dass ich mich an der Substitution irgendwie aufhänge):

$$\int\limits_{0}^{L(W)}f(\Phi(s))ds = \int\limits_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\dot{s}_{\varphi}(t)dt $$.

Also um von $0$ bzw. $L(W)$ auf $\alpha$ bzw. $\beta$ zu kommen (die Grenzen), kann eigentlich nur die Funktion ${s_{\varphi}}^{-1}$ angewandt worden sein... also kann eigentlich nur diese Form der Subst. Regel angewandt worden sein:



Dann müsste aber hinter dem Gleichzeichen $\varphi'(t)$ stehen, statt $\dot{s}_{\varphi}(t)$. Das muss irgendwie mit der Komposition $\Phi=\varphi \circ {s_{\varphi}}^{-1}$ zusammenhängen... blick's aber nicht.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14 12:39


Hey curious_mind,

Setze mal \(g:= f \circ \Phi = f \circ \varphi \circ s_{\varphi}^{-1}\)
Jetzt verwende die Substitutionsregel, so wie sie bei dir steht, wobei in der Substitutionsregel du nun das \(f\) durch \(g\) ersetzt und das \(\varphi\) durch \(s_{\varphi}\)



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 13:36


Ah, also so:

Für $\Phi=(\varphi \circ s_{\varphi}^{-1})(s)$ setze man $g:=f\circ \Phi = f\circ (\varphi \circ s_{\varphi}^{-1})$, also:


$\int\limits_{0}^{L(W)}f(\Phi(s))ds =\int\limits_{0}^{L(W)}g(s)ds.$

Wende Substitutionsregel an mit $s:=s_{\varphi}(t)$ bzw. $t=s_{\varphi}^{-1}(s)$, so folgt:

$\int\limits_{0}^{L(W)}g(s)ds=\int\limits_{s_{\varphi}^{-1}(0)}^{s_{\varphi}^{-1}(L(W))}g(s_{\varphi}(t))\dot{s_{\varphi}}(t)dt=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(f\circ \Phi)(s_{\varphi}(t))\dot{s_{\varphi}}(t)dt=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f\circ (\varphi \circ s_{\varphi}^{-1})(s_{\varphi}(t))\dot{s_{\varphi}}(t)dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\dot{s_{\varphi}}(t)dt $.

Ok, das hab ich nicht gesehen. Danke.



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