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| Autor |
  DGL mittels Substitution lösen |
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maxmustermann9991
Aktiv 
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 203
 |      Themenstart: 2019-11-14 11:02
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Ich habe eine DGL, die ich mittels Substitution lösen soll.
  
y'(x)+4*y^2/x^2-y/x=0 mit Anfangsbedingung: y(1)=2 gesucht: Werte für x=1,1 und x=1,4
Mein Vorgehen: erst einmal y' auf eine Seite bringen:
y'(x)=y/x-4*y^2/x^2 Subst. u=y/x y'(x)=u-4u^2 du/dx=u-4u^2 1/(u-4u^2) du=dx ln(u)-ln(4u-1)=x+C e-Funktion auf beiden Seiten anwenden: u-(4u-1)=e^(x+C) u=(e^(x+C)-1)/3 Rücksubstitution: u=y/x y/x=(e^(x+C)-1)/3 y=(e^(x+C)-1)/3*x Anfangsbedingung: y(1)=2 (e^(1+C)-1)/3*1=2 C=ln(7)-1 y(1,1)=(e^(1,1+ln(7)-1)-1)/3*1,1=2,46994 y(1,4)=4,40663
Wo mache ich hierbei meinen Fehler, da die Lösungen nicht korrekt sind?
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2073
Aus: Hattingen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14 11:07
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Hallo mm9991,
den Fehler machst Du schon ganz am Anfang. Du kannst nicht $u=\frac yx$ substituieren, und dann ganz selbstverständlich von einem Schritt zum nächsten $y'$ durch $u'$ ersetzen. Nach der Substitution ist doch wohl $y=u\cdot x$. Was folgt daraus für $y'$?
Ciao,
Thomas
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2359
Aus: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-14 11:10
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
2019-11-14 11:02 - maxmustermann9991 im Themenstart schreibt:
Ich habe eine DGL, die ich mittels Substitution lösen soll.
y'(x)+4*y^2/x^2-y/x=0 mit Anfangsbedingung: y(1)=2 gesucht: Werte für x=1,1 und x=1,4
Mein Vorgehen: erst einmal y' auf eine Seite bringen:
y'(x)=y/x-4*y^2/x^2 Subst. u=y/x y'(x)=u-4u^2 du/dx=u-4u^2 1/(u-4u^2) du=dx ln(u)-ln(4u-1)=x+C e-Funktion auf beiden Seiten anwenden: u-(4u-1)=e^(x+C) u=(e^(x+C)-1)/3 Rücksubstitution: u=y/x y/x=(e^(x+C)-1)/3 y=(e^(x+C)-1)/3*x Anfangsbedingung: y(1)=2 (e^(1+C)-1)/3*1=2 C=ln(7)-1 y(1,1)=(e^(1,1+ln(7)-1)-1)/3*1,1=2,46994 y(1,4)=4,40663
Wo mache ich hierbei meinen Fehler, da die Lösungen nicht korrekt sind?
Gleich zu Beginn, wo du \(y'=\frac{du}{dx}\) setzt. Das geht so natürlich nicht.
Du musst zunächst die Substitutionsgleichung \(u=\frac{y}{x}\) geeignet* ableiten, um das Differential \(dy\) irgendwie durch \(du\) ersetzt zu bekommen.
Gruß, Diophant
* Siehe hierzu den vorherigen Beitrag von MontyPythagoras.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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maxmustermann9991
Aktiv 
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 203
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 11:38
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2359
Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-14 11:42
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\(\begingroup\)\(
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Hallo,
die erste Version ist im Prinzip richtig. Nur macht das alles keinen Sinn, so lange da \(u'\) steht. Da nach x abgeleitet wird, bekommst du zunächst
\[\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u\]
Damit kannst du nun den Differentialquotenten \(\frac{dy}{dx}\) substituieren.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 203
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 11:51
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Sieht das Folgende soweit richtig aus? Bevor ich hier falsch weiterrechne.
dy/dx=du/dx*x+u=u-4u^2 du/dx*x=-4u^2 du*x=-4u^2 dx 1/(-4u^2) du=1/x dx Integrieren: 1/4u=ln(x)+C Rücksubstitution: u=y/x 1/(4*y/x)=ln(x)+C x/4y=ln(x)+C 4y/x=1/(ln(x)+C) y=x/(4*(ln(x)+C))
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2359
Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-14 11:58
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\(\begingroup\)\(
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Hallo,
es ist noch nicht ganz richtig. Das Integral der Hyperbelfunktion ist ja
\[\int{\frac{dx}{x}}=\ln\left|x\right|+C\]
Außerdem würde ich zu deiner Rücksubstitution anmerken wollen: quer durch die Brust ins Auge... 
Warum löst du nicht zunächst nach u auf, substituierst zurück und löst dann vollends nach y?
Außerdem könnte man - so man möchte - die Integrationskonstante noch in den Logarithmus hereinziehen. Das ist aber Geschmacksache.
Bis auf die fehlenden Betragsklammern ist es jedoch richtig gerechnet.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 203
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 12:13
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2019-11-14 11:58 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Außerdem würde ich zu deiner Rücksubtsitution anmerken wollen: quer durch die Brust ins Auge...
Warumk löst du nicht zunächst nach u auf, substitierst zurück und löst dann vollends nach y? Normalerweise, mit Stift und Papier, würde ich es genauso tun wie du es hier sagst. Weshalb ich diesmal den umständlicheren Weg bei der Eingabe verwendet habe, das weiß nur der liebe Gott.
Außerdem könnte man so man möchte die Integrationskonstante noch in den Logarithmus hereinziehen. Das ist aber Geschmacksache.
Stimmt.
Bis auf die fehlenden Betragsklammern ist es jedoch richtig gerechnet.
Die sind tatsächlich der Faulheit bei der Eingabe mit dem Editor geschuldet. 
Nun weiter mit der Aufgabe:
y=x/(4*(ln abs(x)+C)) Anfangsbedingung: y(1)=2 habe im Folgnden ln(1) einfach mitgeschleppt, mir ist bewusst, dass ln(1)=0 ist 1/(4*(ln(1)+C))=2 1/(ln(1)+C)=8 ln(1)+C=1/8 C=1/8-ln(1) C=1/8 Lösung mit Anfangswertbedingung: y=x/(4*(ln abs(x)+1/8)) y(1,1)=1,1/(4*(ln(1,1)+1/8))=1,24824 y(1,4)=1,4/(4*(ln(1,4)+1/8))=0,78544
Sind die Lösungen nun korrekt? 
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2359
Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-14 12:28
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\(\begingroup\)\(
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
die Konstante ist richtig, ebenso der Funktionswert \(y(1.1)\). Beim zweiten Wert hast du im Ergebnis noch einen Zahlendreher drin, das sollte \(y(1.4)\approx 0.758\) heißen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 203
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 12:51
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Habs gerade nochmal eingegeben, jawohl war ein Zahlendreher.
Vielen Dank nochmal für die Hilfen! :-)
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maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
maxmustermann9991 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |  [Neues Thema]  [Druckversion] |
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