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Analysis » Maßtheorie » Produkt von Lebesgue-messbaren Mengen
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Universität/Hochschule Produkt von Lebesgue-messbaren Mengen
depletedboi
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Dabei seit: 22.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-15


Hallo,

ich möchte zeigen, dass für zwei lebesgue-messbare Mengen \(A\in\mathcal{L}(m), B\in\mathcal{L}(n)\) gilt, dass \(\lambda_m(A) \lambda_n(B) = \lambda_{m+n}(A \times B)\). Dazu würde ich erstmal zeigen, dass \( A \times B\) auch wieder messbar in \(\mathbb{R}^{m+n}\) ist. Hierbei soll \(\mathcal{L}(n)\) die Lebesguesche Sigma-Algebra sein, also die Vervollständigung der Borelschen-Sigma Algebra bezüglich des Lebesgue Maßes.

Es soll also \(\mathcal{L}(m)\boxtimes\mathcal{L}(n) \subset \mathcal{L}(m+n)\) gelten, und ich vermute, dass sogar \(\mathcal{L}(m)\otimes \mathcal{L}(n) = \mathcal{L}(m+n)\) gilt, wobei \(\mathcal{L}(m)\boxtimes\mathcal{L}(n)\) die Menge aller Mengen \(A \times B\) ist mit \(A\in\mathcal{L}(m), B\in\mathcal{L}(n)\) und \(\mathcal{L}(m)\boxtimes\mathcal{L}(n)\) die davon erzeugte Sigma-Algebra.

Allerdings habe ich nicht besonders viele Kriterien zur Hand um zu zeigen, dass eine Menge lebesgue-messbar ist, außer das Messbarkeitskriterium von Caratheodory und dass für \(A\in \mathcal{L}(m)\) gilt, dass \(A=S\cap N\) wobei S sigma-kompakt ist und N Teilmenge einer Borelschen Nullmenge. Wäre cool wenn mir jemand weiterhelfen könnte, oder mir ein paar Sätze an die Hand geben könnte mit denen ich weiterarbeiten kann. Danke schonmal!



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