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Funktionentheorie » Holomorphie » Laurent-Reihe für verschiedene gebrochenrationale Funktionen bestimmen
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Universität/Hochschule J Laurent-Reihe für verschiedene gebrochenrationale Funktionen bestimmen
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-15


Moin zusammen

Ich stecke bei folgender Aufgabe fest: Ich soll folgende Funktion als Laurent-Reihe wiedergeben \(f(z) =\frac{4z-z^2}{(z^2-4)(z+1)}\) im Gebiert \(\{z\in \mathbb{C}:2<\mid z \mid<100\}\).
Ich habe mit der Partialbruchzerlegung zunächst folgendes für \(f(z)\) erhalten: \(f(z) =\frac{-1}{3(2-z)}+\frac{-3}{(2+z)}+\frac{5}{3(1+z)}\) und haben mir die jeweiligen Summanden genauer angeschaut:
1) \(\frac{-1}{3(2-z)}\)= \(\frac{1}{3z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}\) und da \(\mid z \mid >2\) ist folgt \(\mid \frac{1}{z} \mid > \frac{1}{2}\) und d.h. \(\mid \frac{2}{z} \mid > 1\), wir können als die geometrische Reihe benützen und erhalten: \(\frac{1}{3z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}\) = \(\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^\infty 2^n*(\frac{1}{z})^n\) = \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3}*2^{n-1}*(\frac{1}{z})^n\) (stimmt dies)

2) \(\frac{-3}{(2+z)}\)=\(\frac{-3}{z}\frac{1}{(1+\frac{2}{z})}\) = \(\frac{-3}{z}\sum_{n=0}^\infty (-2)^n*(\frac{1}{z})^n\)=\(\sum_{n=1}^\infty -3*(-2)^{n-1}*(\frac{1}{z})^n\) (da ja \(\mid \frac{2}{z} \mid > 1\) gilt)

3) \(\frac{5}{3(1+z)}\)= \(\frac{5}{3}\frac{1}{(1+z)}\), nun haben wir \(\mid z \mid < 100\), was damit wir die geometrische Reihe nützen können zu \(\mid \frac{z}{100} \mid < 1\) umwandeln müssen aber ich sehe nicht wie ich mit meinem Term spielen kann :/

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen Blick drüber werfen könnte und mir evtl. auch mit meinem Problem helfen könnte. Vielen Dank und einen schönen Abend

Math_user



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16


Niemand da der mir helfen könnte? :)



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17


hallo,

dein Ansatz sieht gut aus, aber deine Partialbruchzerlegung ist falsch.

bye trunx


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das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17


Huhu,

das wollte ich auch gerade schreiben. Es ist \(\frac{-2^2+4\cdot 2}{(2+2)(2+1)}=\frac{1}{3}\). Und somit muss es \(\frac{1}{3(z-2)}\) lauten.

Gruß (und einen Schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Guten Sonntag

Vielen Dank für den Hinweis, ich habe meinen Fehler korrigiert. Nun stecke ich aber immer noch fest mit dem 3 Summanden, könnte mir da jemand weiterhelfen?



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-17


zu 1) fast richtig, aus 1/3 wird aber plötzlich 3
zu 2) da wäre (-2)n richtig
und zu 3) das hast du im anderen thread korrekt berechnet.

bye trunx


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Um sicher zu sein 3) kann ich also wegen \(\mid \frac{1}{z} \mid < \frac{1}{2}<1\) aufschreiben als \(\frac{5}{3}\frac{1}{(1+z)}\) = \(\frac{5}{3}\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty (\frac{-1}{z})^n\)?

Danke vielmals für deine Hilfe trunx (und auch allen anderen)!
Gruss und einen schönen Sonntag




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-17


ja, und du kannst und solltest alle drei summen zusammen fassen.


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