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Physik » Relativitätstheorie » Raumzeitlicher Abstand
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Universität/Hochschule J Raumzeitlicher Abstand
Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-16


Um die Frage stellen zu können, muß ich zunächst etwas Kontext bereitstellen:

Der raumzeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen
  fed-Code einblenden
ist ja gegeben durch
  fed-Code einblenden
Wir betrachten zwei Intertialsysteme K und K'. Da die Lichtgeschwindigkeit in allen Intertialsytemen gleich ist, folgt aus fed-Code einblenden auch fed-Code einblenden . Darüber hinaus gilt aber sogar fed-Code einblenden , und zwar auch dann wenn der raumzeitliche Abstand nicht 0 ist.

Warum ist das so? Landau gibt dazu in seinem Buch "Klassische Feldtheorie" (archive.org/details/TheClassicalTheoryOfFields) eine Begründung die ich nicht ganz verstehe. Er geht zunächst zu infinitesimalen Abständen fed-Code einblenden über und sagt, dass zwischen diesen die Beziehung (I) gilt:
fed-Code einblenden
mit einem Faktor a. Aus der Homogenität und Isotropie von Raum und Zeit folgert er dann, dass a nur von dem Betrag der Relativgeschwindigkeit von K und K' abhängen kann, und dann weiter daß a = 1 ist.

Aber warum aber gilt (I) überhaupt? Landau schreibt dazu auf Seite 4 folgendes:

"...As already shown, if ds=0 in one inertial system, then ds'=0 in any other system. On the other hand, ds and ds' are infinitesimals of the same order. From these two conditions it follows that ds^2 and ds'^2 must be proportional to each other..."

Also die Begründung verstehe ich nicht! Warum sind ds und ds' "infinitesimals of the same order"? Und was genau soll das eigentlich heißen? Kann man das mathematisch sauber definieren?





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Ueli
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Dabei seit: 29.11.2003
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Aus: Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-16


Hallo Permenides,
zuerst solltest du deine Beziehung für \(\Delta s\) nochmals überarbeiten. Achte dabei auch auf das Vorzeichen im Zeit-Term.
Gruss Ueli



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16


Yes - sorry, Schreibfehler! Aber an der Frage ändert sich nichts.



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PhysikRabe
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Dabei seit: 21.12.2009
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-16


Hallo Parmenides,

die Erklärung ist in der Tat etwas seltsam. Aber die Invarianz des Abstands kann man direkt mithilfe der Definition von Lorentztransformationen begründen: Diese sind genau so definiert, dass sie die Minkowski-Metrik invariant lassen, also $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ für jede Lorentz-Transformation $\Lambda$ und den Minkowski-Metriktensor $\eta$, in Koordinaten $\eta = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$. Angewendet auf die Norm ergibt sich genau die behauptete Aussage.

Grüße,
PhysikRabe




-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-16


2019-11-16 22:01 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber die Invarianz des Abstands kann man direkt mithilfe der Definition von Lorentztransformationen begründen

Die im Startbeitrag dargestellte Argumentation ist Teil der Herleitung der Lorentztransformationen aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit. An dieser Stelle kann man also mit Eigenschaften der Lorentztransformationen noch nichts begründen.



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16


zippy hat Recht. Landau leitet die Lorentztransformation aus der Invarianz des Abstandes her.
Dass der Abstand invariant ist, ist eine physikalische Tatsache, die man auch durch physikalische Messungen bestätigen kann. Landau leitet diese Invarianz aus "höheren" Prinzipien her, wie Homogenität und Isotropie des Raumes, Gleichberechtigung aller Inertialsysteme, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die ominöse Beziehung (I) ist ein Teil dieser Herleitung. Meine Frage bleibt also bestehen!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-16


2019-11-16 16:23 - Parmenides im Themenstart schreibt:
Warum sind ds und ds' "infinitesimals of the same order"?

Das soll heißen, dass beide Größen mit derselben – nämlich zweiten – Ableitung des raumzeitlichen Abstands zusammenhängen: Mit $\mathsf x:=(x,y,z,t)$ ist ja$$
(\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h)=
(\mathrm ds)^2+o(|\mathsf h|^2\bigr)\;.
$$Solche zweiten Ableitungen sind quadratische Formen $\mathsf h\mapsto (\mathrm ds)^2=\mathsf h^TQ\,\mathsf h$, und die Kettenregel sagt, dass $Q'$ und $Q$ über $Q'=A^TQ\,A$ zusammenhängen, wobei $A$ die erste Ableitung der Transformation $\mathsf x'\mapsto\mathsf x$ ist.

Die Aussage "wenn $\mathrm ds=0$ und $\mathrm ds'=0$ äquivalent sind, muss $(\mathrm ds')^2=a\cdot(\mathrm ds')^2$ sein" lässt sich also übersetzen in "wenn für $Q=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ und eine reguläre Matrix $A$ die quadratische Form $A^TQ\,A$ genau dann verschwindet, wenn $Q$ verschwindet, muss $A^TQ\,A=a\cdot Q$ mit einem Faktor $a\ne0$ sein".



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Hallo zippy, ich verstehe leider schon den Anfang der Argumentation nicht. Ist das eine Art Taylorentwicklung die du machst?
Was ist \((\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h)\)? Doch das raumzeitliche Abstandsquadrat zwischen einem fixierten Punkt \(\mathsf x\) und einem Punkt \(\mathsf x+\mathsf h\) in der Nachbarschaft, oder? Aber dann hätte man doch exakt \((\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h) = \mathsf h^TQ\,\mathsf h\) mit \(Q=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\). Richtig? Was ist nun \((\mathrm ds)^2\)?





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-17


2019-11-17 13:02 - Parmenides in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber dann hätte man doch exakt \((\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h) = \mathsf h^TQ\,\mathsf h\) mit \(Q=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\). Richtig?

Richtig.

2019-11-17 13:02 - Parmenides in Beitrag No. 7 schreibt:
Was ist nun \((\mathrm ds)^2\)?

Das fällt einfach mit $(\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h)$ zusammen. Trotzdem ist es für die Argumentation wesentlich, diesen Ausdruck als zweite Ableitung zu erkennen.



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Hi zippy, sorry ich versteh's noch nicht.

In K bzw. K' habe ich also:
\[(\mathrm ds)^2=(\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h) = -h_1^2-h_2^2-h_3^2+h_4^2 = \mathsf h^TQ\,\mathsf h\] \[(\mathrm ds')^2=(\Delta s')^2(\mathsf x',\mathsf x'+\mathsf h') = -h_1^{'2}-h_2^{'2}-h_3^{'2}+h_4^{'2} = \mathsf h^{'T}Q'\,\mathsf h^{'}\] mit \(Q=Q'=\operatorname{diag}(-1,-1,-1, 1)\).

Und es gibt eine (später zu findende Lorentz)Transformation nach K nach K':
\[\mathsf x\mapsto\mathsf x' =: f(\mathsf x)\] bzw.
\[x'_i =: f_i(\mathsf x)\]
Wo kommt jetzt die Kettenregel und die zweite Ableitung ins Spiel???

Keine Ahnung ob du sowas meinst. Ich kann für \(f_i(\mathsf x+\mathsf h)\) jetzt eine Taylorentwicklung machen:
\[f_i(\mathsf x+\mathsf h)=f_i(\mathsf x) + (\frac{\partial f_i}{\partial x_j})h_j + \frac{1}{2}(\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j \partial x_k})h_j h_k + ... = (\mathsf x' + \mathsf h')_i = x'_i+h'_i\]
Dann folgt für \(h'_i\):
\[h'_i = (\operatorname{grad} f_i)\mathsf h + \frac{1}{2}(\mathsf h^T(\operatorname{Hess} f_i)\,\mathsf
 h) + ...\]
Hier hab ich dann eine quadratische Form. Aber was nützt mir das?



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Auch interessant: Jemand hat die gleiche Frage in einem anderen Forum mal gestellt: physics.stackexchange.com/questions/48310/intervals-as-infinitesimals-of-same-order-landau-lifshitz
So richtig zufriedenstellend finde ich die Antwort allerdings nicht (Was soll denn die "hidden variable x" physikalisch sein?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-17


2019-11-17 20:56 - Parmenides in Beitrag No. 9 schreibt:
Wo kommt jetzt die Kettenregel und die zweite Ableitung ins Spiel???

Um die etwas sperrigen Bezeichnungen loszuwerden und auch um Verwechslungen zwischen Funktionen und deren Werten zu vermeiden, bezeichne ich die Funktion $(\mathsf x, \mathsf y)\mapsto (\Delta s)^2(\mathsf x, \mathsf y)$ ab jetzt mit $\Phi$.

Betrachten wir die Bahn eines Lichtstrahls. In $K$ hat der die Koordinaten $\mathsf x(\lambda)$, wobei $\lambda$ irgendein Parameter ohne physikalische Bedeutung ist, und es gilt für alle Werte dieses Parameters$$
\Phi\bigl(\mathsf x(0), \mathsf x(\lambda)\bigr)=0\;.
$$Damit ist auch$$
(\mathrm ds)^2 := \frac12\,\left.\left({\mathrm d\over\mathrm d\lambda}\right)^{\!2
}\Phi\bigl(\mathsf x(0), \mathsf x(\lambda)\bigr)\,\right|_{\lambda=0}=0 \;,
$$und wir wissen von oben$$
(\mathrm ds)^2 = \mathsf h^T Q \, \mathsf h \qquad\hbox{mit}\qquad
\mathsf h=\mathsf{\dot x}(0)\;.
$$

In $K'$ ist$$
\Phi\Bigl(f\bigl(\mathsf x(0)\bigr), f\bigl(\mathsf x(\lambda)\bigr)\Bigr)=0
$$und$$
(\mathrm ds')^2 = \frac12\,\left.\left({\mathrm d\over\mathrm d\lambda}\right)^{\!2
}\Phi\Bigl(f\bigl(\mathsf x(0)\bigr), f\bigl(\mathsf x(\lambda)\bigr)\Bigr)\,\right|_{\lambda=0}=0\;.
$$Beim Ausrechnen dieser zweiten Ableitung kommt nun die Kettenregel ins Spiel:$$
(\mathrm ds')^2 = \mathsf h'^{\mkern 3mu T} Q \, \mathsf h' \qquad\hbox{mit}\qquad
\mathsf h'=f'\bigl(\mathsf x(0)\bigr)\,\mathsf{\dot x}(0)\;.
$$
Der weitere Verlauf der Argumentation ist nun grob folgender:

1. Man überlegt sich, dass es zu jedem Punkt $\mathsf x$ und jedem $\mathsf h$ mit $\mathsf h^TQ\,\mathsf h=0$ eine "passende" Kurve $\mathsf x(\lambda)$ gibt – also eine Kurve mit $\mathsf x(0)=\mathsf x$, $\mathsf{\dot x}(0)=\mathsf h$ und $\Phi\bigl(\mathsf x(0), \mathsf x(\lambda)\bigr)=0$ für alle $\lambda$ – und kann dann die Forderung an die Transformation $f$ "auf der Ebene der Differentiale" formulieren: Für alle $\mathsf h$ gilt die Implikation $\mathsf h^TQ\,\mathsf h=0$ $\implies$ $\mathsf h^ TQ'\,\mathsf h=0$ mit $Q'=f'(\mathsf x)^TQ\,f'(\mathsf x)$.

2. Durch Vertauschen von $K$ und $K'$ wird daraus: Für alle $\mathsf h$ gilt die Äquivalenz $\mathsf h^TQ\,\mathsf h=0$ $\iff$ $\mathsf h^ TQ'\,\mathsf h=0$ mit $Q'=f'(\mathsf x)^TQ\,f'(\mathsf x)$.

3. Daraus folgt dann $f'(\mathsf x)^TQ\,f'(\mathsf x)=a\bigl(f'(\mathsf x)\bigr)\cdot Q$ mit einem Faktor $a\bigl(f'(\mathsf x)\bigr)\ne0$.

4. Danach kommen die Argumente (Homogenität von Raum und Zeit usw.), aus denen schließlich $a\bigl(f'(\mathsf x)\bigr)=1$ folgt.



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Parmenides
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 21:25


Hallo zippy, danke für die ausführliche Antwort.
Ich versuche das mal zusammenzufassen und zu vereinfachen, so wie ich das jetzt verstehe. Ich werde dabei die Bezeichnungen etwas ändern, und Koordinatendifferentiale verwenden. Überall wo \(\mathrm dx^i\) oder \(\mathrm ds\) steht könnte man auch \(\frac{\mathrm dx^i}{\mathrm d\lambda}\) oder \(\frac{\mathrm ds}{\mathrm d\lambda}\) schreiben. Aber das mache ich nicht, sondern werde nur die Differentiale hinschreiben.

Also. Im System K hat man (mit Summenkonvention)
\[\mathrm ds^2 = \eta_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j\] und im System K' entsprechend
\[\begin{equation}\label{eq1} \mathrm ds'^2 = \eta_{ij}\mathrm dx'^i \mathrm dx'^j \end{equation} \] jeweils mit \[\eta = \operatorname{diag}(1, -1,-1,-1)\] Ich will zeigen, dass aus der Äquivalenz:
\[\mathrm ds^2 = 0 \Leftrightarrow\ \mathrm ds'^2 = 0\] die Proportionalität folgt:
\[\mathrm ds^2 = a \cdot \mathrm ds'^2\]  
mit einem \(a \neq 0\).

Dazu drücke ich zunächst die Koordinatendifferentiale in K durch die Koordinatendifferentiale in K' aus:
\[\mathrm dx^i = \frac{\partial \mathrm x^i}{\partial \mathrm x'^m} \mathrm dx'^m\] und setze das in den Ausdruck für \(\mathrm ds^2\) ein
\[\begin{equation}\label{eq2}\mathrm ds^2 = \mathrm g'_{mn} \mathrm dx'^m \mathrm dx'^n \end{equation}\] mit
\[\mathrm g'_{mn} = \eta_{ij} \frac{\partial x^i}{\partial x'^m} \frac{\partial x^j}{\partial x'^n}\] Dann hat man in (\(\ref{eq1}\)) bzw. (\(\ref{eq2}\)) zwei durch \(\eta_{ij}\) bzw. \(\mathrm g'_{mn}\) vermittelte quadratische Formen. (\(\mathrm g'_{mn}\) ist auch wieder symmetrisch)

Jetzt kommt ein Theorem aus der LA (was ich bisher nicht kannte!).
Siehe z.B. hier physics.stackexchange.com/questions/89603/proving-invariance-of-ds2-from-the-invariance-of-the-speed-of-light

THEORM. Two real quadratic forms on a real n dimensional vector space, respectively associated to the symmetric matrix
\[\eta = \operatorname{diag}(1, -1,...,-1)\] and to the symmtric matrix \(\eta'\), have the same zeros if and only if they are proportional, i.e.,
\[\eta' = c \cdot \eta\] for some \(c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Wendet man das auf die Formen (\(\ref{eq1}\)) und (\(\ref{eq2}\)) an, erhält man direkt die behauptete Proportionalität.
Ok so?

In dem obigen Artikel aus stackexchange wird noch die zusätzliche Voraussetzung gemacht, dass die Transformation von K nach K' linear ist (Was sie ja aus physikalischen Gründen auch sein muss). Dann kann man sich die ganze Sache mit den Differentialen sparen, und einfach zu endlichen Abständen übergehen.

Das hier ist auch noch ein interessanter Artikel zu dem Thema:
arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0904/0904.3913.pdf

Ich frag mich welche Begründung wohl Landau selbst im Sinn hatte, als er besagte Beziehung in sein Buch niederschrieb???



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 802
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-19 22:04


2019-11-19 21:25 - Parmenides in Beitrag No. 12 schreibt:
Ok so?

Ja. (Auf den Übergang von $(\Delta s)^2=(\Delta s')^2$ zu $(\mathrm ds)^2=(\mathrm ds')^2$ bist du nicht eingegangen. Es sollte aber klar sein, dass auch dieser Schritt einer Begründung bedarf.)

2019-11-19 21:25 - Parmenides in Beitrag No. 12 schreibt:
In dem obigen Artikel aus stackexchange wird noch die zusätzliche Voraussetzung gemacht, dass die Transformation von K nach K' linear ist (Was sie ja aus physikalischen Gründen auch sein muss).

Es ist keineswegs von vornherein klar, dass die Transformation linear sein muss. Daher ist der Übergang zu Differentialen (bzw. zu Ableitungen), der den Einsatz linearer Algebra ermöglicht, ein wesentlicher Punkt in Landaus Argumentation.

2019-11-19 21:25 - Parmenides in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich frag mich welche Begründung wohl Landau selbst im Sinn hatte, als er besagte Beziehung in sein Buch niederschrieb???

Ich denke, dass unsere Versuche hier seine Intention schon ganz gut treffen. Dass mathematische Details wie der von dir zitierte Satz über indefinite quadratische Formen von ihm nicht erwähnt werden, entspricht dem generellen Stil seiner Darstellung.



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Parmenides hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Parmenides hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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