Die Mathe-Redaktion - 10.12.2019 19:28 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 771 Gäste und 15 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid Buri
Matroids Matheplanet Forum Index » Mathematik » Warum ist Mathematik oft so schön?
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Warum ist Mathematik oft so schön?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-16 22:19


Hallo,
es geht eher um eine philosophische Frage und ob es sich um Zufälle in der Konsistenz der Mathematik handelt:
Warum ist die Mathematik oft so schön? So wie ich es mitbekommen habe definiert man sich die Sachen gerade so, wie sie sein sollten bzw. sich verhalten sollten. Aber vor kurzem kam mir der Gedanke, warum das überhaupt in einer mit der schon bestehenden Mathematik konsistenten Form machbar ist? Genauer kam mir die Frage in der Vorlesung auf, als das Produktmaß und die nötigen Vorbereitungen eingeführt worden sind. Die Gültigkeit der Lemmata war eher zufällig das Produkt von erwünschten Eigenschaften (bzw. erzwungenen Definitionen), womit man nicht unbedingt hätte rechnen müssen, was aber wesentlich für die Existenz eines Produktmaßes war.
Oder anderes Beispiel ist das Lebesgue-Integral. Erst wird es für Indikatorfunktionen definiert, dann für positive einfache Funktionen, indem man forciert, dass das Integral linear sein soll. Jedoch kann eine positive einfache Funktion mehrere Darstellungen haben, sodass die Wohldefiniertheit überhaupt nicht klar ist fürs Erste (was auch kaum jemand erwähnt/beweist). Auch hier ist es in meinen Augen eher zufällig, dass unser Integral wohldefiniert ist und man dann sogar eine sehr schöne mächtige Theorie damit entwickelt hat.
Oder, dass die Borel sigma-Algebra von IR^n gleich der Produkt sigma-Algebra von IR^k und IR^m ist, wobei k+m=n. Sodass man überhaupt den Satz von Fubini anwenden kann und IR^n auf Integral über IR zurückführen kann.
Auch dass die Topologie als Verallgemeinerung der metrischen Räume in konsistenter Form angesehen werden kann ist verblüffend. Etwa \((M,d)\) metrischer Raum und \(A\subset M\), dann gilt die induzierte Topologie von \((A,d|_A)\) ist gleich der Unterraumtopologie der induzierten Topologie von \((M,d)\). Solche Kleinigkeiten eben, welche aber fundamental sind für eine konsistente Theorie.

Natürlich gibt es auch Beispiele, die nicht dafür sprechen, dass alles so ist, wie man es gerne haben möchte (etwa dass das Lebesguemaß nicht auf ganz \(\mathcal{P}(\mathbb{R^n})\) definiert werden kann).
Dennoch treten diese Zufälle öfters auf und ich frage mich, ob das wirklich Zufall ist oder doch eine höhere Macht ins Spiel kommt, die diese Konsistenz erzwingt  :-D

Jeder ist herzlich eingeladen seine Gedanken frei zu äußern. Der Thread ist eher an erfahrenere Leute gerichtet, die solche Sachen besser beurteilen können als ich.

Red_



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LaLe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.09.2014
Mitteilungen: 534
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-16 23:08


Meine Vermutungen zu dem Thema:

- Große Teile der Mathematik können die Physik beschreiben, in der String-Theorie kommt ja "fast alles" zum Einsatz.
- In der Physik müssen schöne Gesetze gelten, denn wenn dem nicht so wäre, wäre unser Universum weniger regelmäßig als es ist und Leben wäre entsprechend nicht möglich.

So gesehen denke ich könnte die Schönheit der Mathematik einfach ein Observer-Bias sein, den wir haben, weil wir unser Universum "danach selektiert haben", Leben zu beherbergen.

LG,
LaLe



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Chandler
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 1005
Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17 09:49


2019-11-16 23:08 - LaLe in Beitrag No. 1 schreibt:
- In der Physik müssen schöne Gesetze gelten, denn wenn dem nicht so wäre, wäre unser Universum weniger regelmäßig als es ist und Leben wäre entsprechend nicht möglich.

Diesbezüglich empfehle ich aktuell das Buch "Lost in Math" von Sabine Hossenfelder, die mit vielen Interviews erklärt, dass das "Schönheits"-argument für die Physik extrem unwissenschaftlich ist.

Und auch auf die Mathematik bezogen: Haben wir dort nicht auch einen gewissen Bias? Wir betreiben nur die Mathematik, die in unseren Augen "schön" ist, wir erinnern uns nur an die Theoreme, die uns "schön" erscheinen, aber wir ignorieren Vorträge, Themen und Beweise, die uns als "nicht so schön" erscheinen. Zum Beispiel wählt Red_ die "schöne" Borel-Sigma-Algebra und nicht die "hässliche" Lebesgue-Sigma-Algebra (für die Vervollständigung des Lebesgue-Maßes) für sein Argument.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Slash
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 7629
Aus: Cuxhaven-Sahlenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17 10:50


Schönheitsempfinden hat natürlich auch immer etwas mit Erfahrung zu tun. Wer keine Erfahrung mit der Mathematik hat bzw. sie nur aus der Schule kennt, wird kaum eine Gleichung oder ein Theorem als schön empfinden, weil er keine Vergleichsmöglichkeiten innerhalb dieses Gebiets hat.

Ein Landwirt, der in seinem Leben nichts anderes gemacht hat, als Schweine zu züchten, wird bestimmt an einem Schwein Schönheiten entdecken (Aussehen, Verhalten, etc.), die ich nicht nachvollziehen kann, da ich noch nie etwas mit Schweinen zu tun hatte.

Ich wollte früher oft Nicht-Mathematiker von der Mandelbrotmenge begeistern, was mir selten gelang. Das ein oder andere Bild wurde zwar als "ganz schön" beschrieben, doch die eigentliche mathematische Schönheit dahinter blieb unentdeckt, da die Erfahrung, das Insiderwissen, fehlte.

Doch es gibt auch immer wieder Dinge, die Menschen schon oft erfahren haben und trotzdem nicht als schön empfinden, obwohl viele andere es tun. Da fallen mir spontan Sonnenauf- und untergänge, der Sternenhimmel oder Natur- und Tierbilder ein. Für mich ist es nicht nachvollziebar wie Menschen solche Dinge nicht als schön empfinden können, aber es gibt sie.

Auch für mich gibt es viele Dinge in der Mathematik, deren Schönheit ich nicht nachvollziehen kann, weil mir das Hintergrundwissen fehlt. In meinen Spezialgebieten hingegen finde ich Dinge schön, weil ich eben die Thematik, die Schwierigkeiten und die viele Arbeit dahinter kenne. Zum Beispiel den kleinsten bekannten (4,11)-regulären Streichholz-Graphen. Für mich wunderschön, für andere bloß ein asymmetrisches Ungetüm. smile



Gruß, Slash


-----------------
Bound to be disappointing so why wait?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LaLe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.09.2014
Mitteilungen: 534
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-17 11:46


2019-11-17 09:49 - Chandler in Beitrag No. 2 schreibt:
2019-11-16 23:08 - LaLe in Beitrag No. 1 schreibt:
- In der Physik müssen schöne Gesetze gelten, denn wenn dem nicht so wäre, wäre unser Universum weniger regelmäßig als es ist und Leben wäre entsprechend nicht möglich.

Diesbezüglich empfehle ich aktuell das Buch "Lost in Math" von Sabine Hossenfelder, die mit vielen Interviews erklärt, dass das "Schönheits"-argument für die Physik extrem unwissenschaftlich ist.

Danke! Es gibt dazu auch einen Review auf not even wrong:

www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=10314

Habe das Buch eben bestellt.


2019-11-17 09:49 - Chandler in Beitrag No. 2 schreibt:
Und auch auf die Mathematik bezogen: Haben wir dort nicht auch einen gewissen Bias? Wir betreiben nur die Mathematik, die in unseren Augen "schön" ist, wir erinnern uns nur an die Theoreme, die uns "schön" erscheinen, aber wir ignorieren Vorträge, Themen und Beweise, die uns als "nicht so schön" erscheinen.

Ja, ich denke teilweise gibt es diesen Bias. Zusammen mit dem Bias, der durch ein Universum mit schönen Gesetzen entsteht (was ich durch die Probleme der modernen Physik nicht ganz entkräftet sehe, schließlich basieren ja viele physikalische Gesetze auf schönen Symmetrien - aber ich bin gespannt, was ich in dem Buch lernen werde) und Slashs Argument, dass Schönheit auch im Auge des Betrachters liegt, haben wir denke ich bereits eine gute Fülle von Argumenten. Ich glaube die Argumente ergänzen sich gegenseitig.

LG,
LaLe



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4138
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-17 16:45


2019-11-16 22:19 - Red_ im Themenstart schreibt:
Dennoch treten diese Zufälle öfters auf und ich frage mich, ob das wirklich Zufall ist oder doch eine höhere Macht ins Spiel kommt, die diese Konsistenz erzwingt  :-D

Es ist etwas zwischen diesen beiden Optionen. Es ist weder Zufall (in keinem der von dir genannten Beispiele) noch eine (externe) Macht. Um zu begreifen, dass es kein Zufall ist, braucht es aber eingies an mathematischer Erfahrung. In den Vorlesungen ist keine Zeit, um das zu erklären.

Ansonsten wollte ich auch etwas ähnliches schreiben wie Chandler. Mathematik ist letztlich ein Produkt von uns Menschen. Und wir Menschen sehnen uns nach Schönheit. Es ist also kein Wunder, dass vor allem die schöne Mathematik gefördert und weiter untersucht wird. Es gibt freilich auch ganz unschöne Mathematik.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 18:13


Vielen Dank für eure Antworten,
die Idee von LaLe finde ich sehr interessant, jedoch habe ich da noch paar Punkte, die eventuell nicht dafür sprechen:
-Mathematik wird glaube ich in erster Linie nicht entwickelt, um eine physikalische Anwendung zu finden, sondern man findet die Anwendung oft erst im Nachhinein, die aber zufällig(?) schön zu einer physikalischen Theorie passt.
Nachtrag hierzu: Eventuell wurde die Mathematik, die vor Jahrtausenden entstand, extra für geometrische/physikalische Probleme erschaffen. Und die Mathematik im Nachhinein immer wieder um mathematische Probleme zu lösen, was aber eventuell wieder aus der Physik entstand usw.
-Mathematik ist schon viel allgemeiner als nur drei Dimensionen im Raum, was aber gerade die klassische Physik nur behandelt (und die neu entwickelte Physik hat ja auch nur paar Dimensionen mehr :D)
-Du sagtest in der Physik müssen schöne Gesetzte gelten. Da würde ich direkt an Slash anschließen, dass es eventuell nur so schön erscheint, weil wir es gar nicht anders kennen. Und dennoch bleibt die Frage, warum diese Gesetzte überhaupt gelten, das kann man ja leider nicht mit der Physik beantworten (wahrscheinlich auch gar nicht :/ ), auch hier würde ich also vom Zufall sprechen, dass diese Gesetzte so gelten, wie sie sind.
Und natürlich habt ihr Recht, dass wir uns die Mathematik gerade so schön bilden und definieren und dann den schönsten Weg nehmen, der daraus resultiert. Dass es aber überhaupt so einen resultierenden schönen Weg gibt verblüfft mich und war die Essenz meiner ursprünglichen Frage  smile




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1158
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-17 18:34


Hi red.
Wenn zwei Großmeister Schach spielen kommt oft eine sehr schöne Partie heraus.
Spielen zwei Computer "perfektes Schach" dann kommt es oft vor, dass gewisse Zugfolgen nur deshalb funktionieren, weil sie eine glückliche Aneinanderreihung von Zufällen ausnützen. Ein Mensch würde das nie finden. Das sind Stellungen die total absurd sind in denen immer nur genau ein Zug funktioniert. In einer Großmeisterpartie die gewonnen wird hat immer einer eine überlegene Stellung die er so stark ausgebaut hat, dass viele Züge zum Gewinn führen. Der Gewinn beruht auf einer Strategischen Überlegenheit der Stellung.
Ich glaube, dass es in der Mathematik ähnlich ist. Es gibt sicherlich viele Beweise die ziemlich hässlich sind und nur deshalb funktionieren, weil es eben nicht anders geht, aber Menschen finden sie nicht.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 570
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 19:01


Hey xiao_shi_tou_,
schönes Analogon, ich sehe aber nicht genau, wie man das auf den Sachverhalt bei Definitionen und Sätzen anwenden kann, im Sinne von:
Es gibt mehrere Möglichkeiten etwas zu definieren, um ans Ziel (=Satz oder Theorie) zu gelangen; aber wir nehmen uns die schönste Möglichkeit, die uns in den Sinn kommt und werden sehen, dass wir tatsächlich ans Ziel ankommen und noch weit darüber hinaus.  
Natürlich kann ich keine ''richtige'' Antwort erwarten.
Einer meiner Professoren ist schon sehr alt und kennst sich historisch bestens mit der Mathematik aus und erwähnt oft kleine Fakten, wo er aber oft zusätzlich sagt ,,das ist bloßer Zufall, dass das gleich dem ist...'', was ich aber irgendwie nicht wahrhaben möchte  biggrin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6101
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-18 15:39


Nach meiner Erfahrung unterliegen wir hier einem enormen Wahrnehmungs-Bias.

Ich erinnere mich sehr gut an ein Problem, bei dem ich dachte, wenn das überhaupt lösbar ist, dann müsste die Lösung so und so aussehen und siehe da, genau so war es dann auch. Was für eine wunderbare Fügung!

Weniger gut erinnere ich mich an die vielen Probleme, bei denen ich dachte, wenn es so und so wäre, dann hätte ich eine Lösung, es war aber halt nicht so und so, sondern anders und das Problem blieb ungelöst.

Der Bias wird durch den Prozess der Veröffentlichung verstärkt. Von zwei weniger bedeutenden Problemen wird man eher die Lösung veröffentlichen, die durch irgendeinen schlauen Trick ans Ziel kam, als die Lösung, die ein Problem nur durch viel Arbeit erschlagen hat.
Ein Stückweit ist das verständlich, weil man sich erhofft, dass der "Trick" vielleicht auch anderswo anwendbar ist. Auf der anderen Seite ist das aber auch kontraproduktiv, weil die "Arbeiter" auf die Weise nicht die angemessene Anerkennung erhalten.

Ich könnte mir vorstellen, dass die "gefühlte" Schönheit der Mathematik auch davon abhängt, ob man "reine" oder "angewandte" Mathematik (*) betreibt.

Stark vereinfacht gesprochen sucht man in der reinen Mathematik oft nach dem schönen Argument und dem eleganten Beweis und schaut danach erst, welches Problem man vielleicht damit lösen könnte.
In der angewandten Mathematik hat man eher erst ein Problem und sucht nach einer passenden Lösung. Meistens ist die Lösung dann nicht besonders elegant, weil die ganzen schönen und eleganten Ansätze schon lange vorher ausprobiert wurden. Wären sie erfolgreich gewesen, würde man sich gar nicht mehr mit dem Problem befassen.


(*) Wie schon an anderer Stelle ausgeführt, gefallen mir die beiden Begriffe "rein" und "angewandt" nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]