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Analysis » Topologie » Beweisen oder widerlegen, dass min{d_x(x,y), 1} Metrik ist
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Kein bestimmter Bereich J Beweisen oder widerlegen, dass min{d_x(x,y), 1} Metrik ist
niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17 00:26


Hallo!

(originaler Thread auf Empfehlung hin in verschiedene aufgeteilt)

Bei folgender Aufgabe komme ich einfach nicht weiter:



Ich könnte einen Tipp gebrauchen. Wenn, scheitert es an der Dreiecksungleichung. Ich hatte viele Anläufe, aber bei allen wusste ich schnell nicht weiter, denn wenn ich \(d_{1}(x,y)\) mit \(d_{1}(x,z)+d_{1}(z,y)\) abschätzen soll, fallen mir keine weiteren Schritte ein. Ich kann sowohl \(d_{1}(x,y) \leq d_{x}(x,y) \leq d_{x}(x,z)+d_{x}(z,y)\), als auch \(d_{1}(x,z)+d_{1}(z,y) \leq d_{x}(x,z)+d_{x}(z,y)\) abschätzen. Wie zeige ich jetzt dass es a) für bel. metrische Räume für alle z gilt oder eben b) metrische Räume exisiteren, sodass z existieren, für die es nicht gilt?

Ich habe einerseits versucht, zwischen allen Fällen, die für die "rechte" und "linke" Seite der Behauptung eintreffen können, zu unterscheiden. Da gehen mir aber schnell die Rechenschritte aus. Andererseits habe ich geguckt, was passiert wenn "links" maximal (=1) und "rechts" minimal, bzw wenigstens in Summe <1 ist. Aber wer sagt mir, dass es solche z gibt, die die rechte Seite so klein werden lassen?

Ich weiß nicht, stehe da schon seit Stunden auf dem Schlauch. Bin mir im Unklaren darüber, welche Annahmen ich treffen darf und welche nicht.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17 01:25


Hey niklasm,

Betrachte zunächst den Fall, dass \(d_X(x,z) > 1\) oder \(d_X(y,z)>1\) (Wie groß kann denn \(d_1(x,y)\) höchstens werden?).
Der übrige Fall (also \(d_X(x,z) \leq 1\) und \(d_X(y,z)\leq 1\)) sollte dann auch gut funktionieren.



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niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 06:30


Danke für deinen Tipp. Jetzt wäre folgende meine Rechnung:

Sei \(d_{x}(x,z) > 1 \lor d_{x}(z,y) > 1\), dann folgt:
\((d_{1}(x,y) \leq 1 \leq 1 + d_{1}(z,y)=d_{1}(x,z) + d_{1}(z,y) ) \lor (d_{1}(x,y) \leq 1 \leq d_{1}(x,z) + 1 = d_{1}(x,z) + d_{1}(z,y)) \).
Sei \(d_{x}(x,z) \leq 1 \land d_{x}(z,y) \leq 1\), dann folgt:
\(d_{1}(x,y) \leq d_{x}(x,z) \leq d_{x}(x,z) + d_{x}(z,y) = d_{1}(x,z) + d_{1}(z,y)\).

(Vorausgesetzt hier hat sich jetzt kein Fehler eingeschlichen..) So war das doch eine eigentlich sehr einfache Aufgabe; habe mich irgendwie im Gedanken verheddert, dass ich nur Abschätzungen für Argumente (x,y) treffen kann. Und habe auch nicht die rechte Seite mit Konjunktion auf einmal betrachtet, was das ganze noch wirrer gemacht hat. Beides im Nachhinein sehr ungeschickt.

Dir vielen Dank!



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17 12:24


Ja, so ist es richtig



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