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  Konvergenz geordneter Paare |
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niklasm
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 40
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Hallo!
(ursprünglicher Thread auf Empfehlung hin in einzelne aufgeteilt)
Bei folgender Aufgabe scheitere ich an der Notation / ihrer Interpretation:
Wir haben den limes eines geordneten Paares nie definiert. Also anschaulich mache ich mir den Ausdruck insofern, dass man sich bspw. fragen könnte, was es bedeutet, wenn ein Punkt im R² konvergiert. Wenn ich jetzt annehme, implizit sei gemeint, dass \((x_n , y_n)\) eine Folge ist und ich in die Definition von Konvergenz in metrischen Räumen:
"stupide" ein geordnetes Paar einsetze, heißt das, es ex. Epsilon > 0 sodass ... \(d_{x\times y}[(x_n , y_n),(x^* , y^*)] < \varepsilon\)
Aber \(d_{x\times y}\) ist doch so zu konstruieren, dass es auf geordneten Paaren aus XxY definiert ist, der Ausdruck ergibt also überhaupt keinen Sinn. Vllt. übersehe ich was offensichtliches, aber da hab ich die totale Denkblockade.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1268
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17
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2019-11-17 00:28 - niklasm im Themenstart schreibt:
Aber \(d_{x\times y}\) ist doch so zu konstruieren, dass es auf geordneten Paaren aus XxY definiert ist, der Ausdruck ergibt also überhaupt keinen Sinn.
$d_{X\times Y}$ ist definiert auf $(X\times Y)\times (X\times Y)$, denn es gibt ja den Abstand eines Punktes $p\in X\times Y$ zu einem Punkt $q\in X\times Y$ an: $d_{X\times Y}\colon(p,q)\mapsto d_{X\times Y}(p,q)$.
Nun sind aber die Punkte in $X\times Y$ Paare, d.h. es ist $p=(x,y)$ und $q=(x',y')$ und $d_{X\times Y}(p,q)=d_{X\times Y}\bigl[(x,y),(x',y')\bigr]$. Und dieser Ausdruck ist doch genau der, von dem du sagst, dass er "überhaupt keinen Sinn ergibt".
--zippy
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niklasm
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 40
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17
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Du sagst, \(d_{x\times y}\) sei definiert auf \((X\times Y)\times (X\times Y)\). Wenn dem so ist, natürlich, dann ist der Ausruck des Grenzwerts wie in der Aufgabe sinnig.
Aber laut erster Zeile der Aufgabenstellung soll die Metrik doch auf \(X\times Y\) definiert sein. Also Eine Abbildung der Form \(X\times Y \rightarrow [0,\infty)\), also *ein* geordnetes Paar in die reellen, nicht zwei.
Oder versteh ich hier etwas komplett falsch? Vom Wortlaut her hätte ich das so gedeutet, dass \(X\times Y\) den Definitionsbereich darstellt und nicht das kart. Prod. \((X\times Y)\times (X\times Y)\). Ist also bei dieser Ausdrucksweise immer Letzteres gemeint? Denn du hast denselben "Wortlaut" benutzt (definiert auf), aber eben definiert auf \((X\times Y)\times (X\times Y)\) geschrieben, nicht definiert auf \(X\times Y\). Sorry, wenn ich gerade etwas komplett verpeile..
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6422
Aus: Niedersachsen
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17
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Vielleicht ist Dir die Sprechweise nicht klar:
Eine Metrik auf M, ordnet jedem _Paar_ von Elementen aus M einen Abstand zu.
Es ist also eine (spezielle) Funktion von M x M nach $\IR$.
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niklasm
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 40
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17
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Okay, das ist mir neu, bis jetzt war die Sprechweise in der Vorlesung eine andere (bzw. wurde immer nur (X,d) als metrischer Raum angegeben, nicht worauf d definiert ist - eben X oder XxX); wenn mit der Spreichweise aber immer gemeint ist, dass Elemente des kartesischen Produkts der Menge, auf der die Metrik definiert ist, durch die Metrik abgebildet werden, dann ist mir das Ganze nun klar - Danke!
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