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Mathematik » Zahlentheorie » Unklarheit zur abc-Vermutung
Thema eröffnet 2019-11-17 10:28 von juergenX
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Universität/Hochschule Unklarheit zur abc-Vermutung
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2019-12-08


2019-12-07 19:08 - juergenX in Beitrag No. 39 schreibt:
ich suchte gerade Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, 1993, S. 94
aber fands nicht...
Gar nichts unter Serge Lang dieses Titels.
weiss wer was?

Der Artikel findet sich hier, was da auf Seite 94 unten steht, ist aber im wesentlichen das, worüber wir hier schon die ganze Zeit reden, nämlich dass man die abc-Tripel
\[(a_k,b_k,c_k)=(1,3^{2^k}-1,3^{2^k})\quad (k\in\mathbb N^*)\] für einen einfachen Beweis verwenden kann, dass die Menge
\[M_0:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] nicht nach oben beschränkt ist. Im Gegensatz dazu könnte - ich sage "könnte", denn das ist eben genau die bisher unbewiesene abc-Vermutung - für jedes $\varepsilon >0$ die Menge
\[M_{\varepsilon}:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] durchaus nach oben beschränkt sein.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


2019-12-08 14:20 - weird in Beitrag No. 40 schreibt:
Der Artikel findet sich hier, was da auf Seite 94 unten steht, ist aber im wesentlichen das, worüber wir hier schon die ganze Zeit reden, nämlich dass man die abc-Tripel
\[(a_k,b_k,c_k)=(1,3^{2^k}-1,3^{2^k})\quad (k\in\mathbb N^*)\] für einen einfachen Beweis verwenden kann, dass die Menge
\[M_0:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] nicht nach oben beschränkt ist. Im Gegensatz dazu könnte - ich sage "könnte", denn das ist eben genau die bisher unbewiesene abc-Vermutung - für jedes $\varepsilon >0$ die Menge
\[M_{\varepsilon}:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] durchaus nach oben beschränkt sein.



Ja danke für das PDF!

Wahrscheinlich habe ich mich eben zuviel mit dem Thema beschäftigt, so dass man den Wald vor bäumen oder wie heisst das nicht mehr sieht ;)

Wenn besagte Menge sehr gross beliebig irrsinnig unendlich gross ist so muss ja rad(abc) sehr klein beliebig irrsinnig unendlich klein werden können.
Was ja nicht sein kann, wenn du 2 benachbarte grosse Primzahlen p1,p1+2 nimmst, so ist $abc = p1*(p1+2)*(2p1+2)$ und rad(abc) maximal $p1*(p1+2)*(2p1+2)/4$ , wenn n=p1+1 quadratfrei ist.
So hätten wir eine Obergrenze für radabc gefunden. Grösser kann radabc nicht werden, alle anderen Partitionen von 2p1+2 koennen nur kleinere Radikale ergeben.
Aber kann radabc auch "sehr klein beliebig irrsinnig unendlich klein werden"? sicher nicht.
Man könnte mal ein solches grosses Zwillingspärchen hernehmen und das grösste und kleinste rad(2p1+2) berechnen.
Vielleicht für gewisse bekannte p1,p2 < 10 hoch 6 mal nachrechnen.
Ich werde das mal machen und man wird sehen dass radabc einen kleinsten Wert annimmt, wahrscheinlich wird rad(abc) klein bei sehr kleinem a in a+b=2p1+2.
Aber was beweist das?
´




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2019-12-11


2019-12-11 00:59 - juergenX in Beitrag No. 41 schreibt:
Aber kann radabc auch "sehr klein beliebig irrsinnig unendlich klein werden"? sicher nicht.

Nein, natürlich nicht. Der kleinste Wert, den $\text{rad}(abc)$ annehmen kann, ist 2, nämlich für $a=b=1,\ c=2$. (Prinzipiell stellt sich hier auch die Frage, wie überhaupt ein Wert in $\mathbb N^*$ "beliebig klein" werden kann, also dann sich der 0 beliebig nähern kann wie z.B. die Stammbrüche $\frac 1n\ (n\in\mathbb N^*)$. Da liegt also schon mal ein ganz grundlegendes Missverständnis vor!  😮 )


Man könnte mal ein solches grosses Zwillingspärchen hernehmen und das grösste und kleinste rad(2p1+2) berechnen.
Vielleicht für gewisse bekannte p1,p2 < 10 hoch 6 mal nachrechnen.
Ich werde das mal machen und man wird sehen dass radabc einen kleinsten Wert annimmt, wahrscheinlich wird rad(abc) klein bei sehr kleinem a in a+b=2p1+2.
Aber was beweist das?

Ja, was beweist das, das ist tatsächlich genau die richtige Frage hier.  😵

Man könnte auch präziser fragen, was genau das alles mit der abc-Vermutung hier zu tun hat, wo man ja niemals $\text{rad}(abc)$ bzw. $\text{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$ für ein $\varepsilon>0$ isoliert für sich allein betrachtet, sondern immer nur seine "relative Größe" in Bezug auf $c$, d.h., man betrachtet sinnvollerweise
\[\frac c{\text{rad}(abc)}\quad \text{bzw.}\quad \frac c{\text{rad}(abc)^{1+\varepsilon}}\] für ein $\varepsilon>0$ wie ich das jetzt gefühlt schon zehnmal (zuletzt in #40, bitte das nochmals zu lesen!) gesagt habe. Vielleicht könntest du das endlich auch einmal zur Kenntnis nehmen, dass es um genau diese Quotienten hier geht, sodass auch endlich einmal sowas wie ein kleiner Fortschritt hier erkennbar ist!   ☹️  

Und ja, wenn man da z.B. den größten Primzahlzwilling mit zweistelligen Primzahlen hernimmt, also dann $a=71,\ b=73,\ c=a+b=144=2^4\cdot 3^2$, so ist
\[\frac c{\text{rad}(abc)}=\frac{144}{2\cdot 3\cdot 71\cdot 73}\approx 0.00463\] d.h., das ist ein wirklich ganz, ganz "mieser" Wert, wenn man auf der Suche nach guten "abc-Treffern" ist. Wenn man solche sucht, so sollte man sich einfach z.B. an unsere Folge
\[(a_k,b_k,c_k)=(1,3^{2^k}-1,3^{2^k})\quad (k\in\mathbb N^*)\] halten, welche ausschließlich(!) abc-Treffer > 1liefert! Nehmen wir da nur etwa zum Vergleich
\[q_2=\frac {c_2}{\text{rad}(a_2b_2c_2)}= \frac{81}{30}=2.7\] mit $(a_2,b_2,c_2)=(1,80,81)$, so ist dieser Wert bei vergleichbar großen Zahlen doch gleich um Welten "besser", d.h., das Radikal $\text{rad}(a_2b_2c_2)=30$ im Nenner ist bezogen(!!!) auf den Zähler $c_2=81$ hier deutlich kleiner, wenn du es unbedingt so ausdrücken willst. Was genau bezweckst du also mit deinen Primzahlzwillingen, außer dass dich diese offenbar so sehr faszinieren, sodass du sie hier mit Gewalt ins Spiel bringen willst? Bist du überhaupt auf der Suche nach "guten abc-Treffern", so wie ich das hier einmal unterstellt habe, oder hast du überhaupt etwas anderes im Sinn? Fragen über Fragen...  😮



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


ja danke,
Aus dem Link www.e-periodica.ch/cntmng?pid=edm-001:1993:48::199

geht ja auch, was ich vermutet hatte wenn ich es recht verstand hervor, dass es kein Gegenbeispiel fur die abc-vermutung gibt!
An sich "nur", dass es Keine endliche Abschätzung gibt, wie hoch $\displaystyle K = \frac{c}{rad(abc)}$ werden könnte. Theoretisch ist die unendlich wie man am beispiel unten sieht, aber praktisch gibt es wenn wir $\displaystyle\epsilon \gt 0$ einführen eine Oberschranke für diesen Quotienten, und dass:
$\displaystyle c \le K* rad(abc), 3^{2^n} \le K*3*2*\frac{3^{2^n}}{2^n}$ nicht fuer alle n erfuellt werden kann, was man an folgender Umformung sieht:

$\displaystyle 3^{2^n} \le K*3*2*\frac{3^{2^n}}{2^n} \Leftrightarrow {2^n}
\le K*3*2$.
Nur wenn wir ein $\displaystyle\epsilon$ einfuehren so gibt es für beliebig kleine $\displaystyle\epsilon$ ein K:

$\displaystyle 3^{2^n} \le K*\frac{3^{2^n}}{rad(abc)^{1+\epsilon}}$.

obwohl dann $\displaystyle \frac{1}{rad(abc)^{\epsilon}}$ für sehr kleine epsilon fast verschwindet,
Hoffe das ist so weit richtig...



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2019-12-16


2019-12-16 14:39 - juergenX in Beitrag No. 43 schreibt:
ja danke,
Aus dem Link www.e-periodica.ch/cntmng?pid=edm-001:1993:48::199

geht ja auch, was ich vermutet hatte wenn ich es recht verstand hervor, dass es kein Gegenbeispiel fur die abc-vermutung gibt!

Ein Gegenbeispiel für die abc-Vermutung kennt man bisher tatsächlich nicht, aber das hat mit obigem Artikel rein gar nichts zu tun. Jedes solche Gegenbeispiel würde ja sofort die abc-Vermutung lösen in dem Sinne, als sie dann falsch wäre!  😮

[..] was man an folgender Umformung sieht:

$\displaystyle 3^{2^n} \le K*3*2*\frac{3^{2^n}}{2^n} \Leftrightarrow {2^n}
\le K*3*2$.
Nur wenn wir ein $\displaystyle\epsilon$ einfuehren so gibt es für beliebig kleine $\displaystyle\epsilon$ ein K:

$\displaystyle 3^{2^n} \le K*\frac{3^{2^n}}{rad(abc)^{1+\epsilon}}$.

obwohl dann $\displaystyle \frac{1}{rad(abc)^{\epsilon}}$ für sehr kleine epsilon fast verschwindet,
Hoffe das ist so weit richtig...

Hm, wie soll das gehen: Einerseits sagst du, dass
\[\displaystyle 3^{2^n} \le K*\frac{3^{2^n}}{rad(abc)^{1+\epsilon}}\] was offensichtlich zu
\[\textrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}\le K\] äquivalent ist und woraus dann natürlich erst recht
\[\textrm{rad}(abc)^{\varepsilon}\le K\] folgen würde, andererseits behauptest du, dass $\frac{1}{rad(abc)^{\epsilon}}$ beliebig klein, also mit anderen Worten dann auch $\textrm{rad}(abc)^{\epsilon}$ beliebig groß werden kann, ein klarer Widerspruch!  😮

Hier haben wir in nuce das Grundproblem mit deinen Postings: Solange du dich pedantisch genau an eine Vorlage hältst, ist alles gut, wenn du dich aber - bildlich gesprochen - auch nur um ein $\varepsilon>0$ davon entfernst und anfängst, eigene Überlegungen anzustellen oder auch nur irgendwas in deinen eigenen Worten auszudrücken, gibt es sofort ein Problem.  ☹️



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-17



rad(abc)ε≤K
folgen würde, andererseits behauptest du, dass 1/rad(abc)ϵ beliebig klein, also mit anderen Worten dann auch rad(abc)ϵ beliebig groß werden kann, ein klarer Widerspruch!  



mit beliebig klein, meinte ich rad(abc)^ϵ oder 1/rad(abc)^ϵ geht beliebig gegen 1.
und rad(abc)^(1+ϵ) geht beliebig nahe gegen rad(abc) erreicht es aber nie.




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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-17


Mein Problem ist dass ganz allgemein gesprochen sorry für die plumpe ausdrucksweise irgendeine a+b=c ggt(abc=1) nicht moeglich ist wenn a b c hochpotente zahlen sind.
was ist nicht moeglich?
wenn $2^{10}+3^{10}= p1^n*p2^m*\ldots pk^k$ oder so loesbar ist,ist es ich denke ja, dann ist rad(abc) das produkut alle Basen und c/rad(abc) damit sehr hoch wird, gibt es eine obergrenze fuer c/rad(abc) Gibt es die?
wie hoch kann die sein?
sagt die abc vermutung etwas darueber aus?





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2019-12-17


2019-12-17 19:12 - juergenX in Beitrag No. 46 schreibt:
gibt es eine obergrenze fuer c/rad(abc) Gibt es die?
wie hoch kann die sein?
sagt die abc vermutung etwas darueber aus?

Back to square one!  😮

Dabei hattest du hier
2019-11-26 16:21 - juergenX in Beitrag No. 22 schreibt:
Beh.: (*****)
Masser bewies, (btw: wie_?), dass das Verhältnis $\displaystyle {\tfrac {\operatorname {rad} (abc)}{c}}$ beliebig klein werden kann...

Masser bewies also auch:
(******) das Verhältnis $\displaystyle \frac {c}{rad(abc)}$ kann beliebig gross werden, ist nicht nach oben beschränkt.

schon offenbar mit großer Freude von deiner Einsicht berichtet, dass rad(abc)/c genau dann beliebig klein werden kann, wenn der Kehrwert, also dann "unser" c/rad(abc), beliebig groß werden kann. Warum sind jetzt die alten Zweifel, ob c/rad(abc) wirklich nach oben nicht beschränkt ist, plötzlich wieder da?  😵

Und nein, die abc-Vermutung macht bezüglich c/rad(abc) keine Aussage, das ist mit Masser abgehakt und erledigt. Was sie wirklich aussagt oder besser vermutet, habe ich jetzt schon mehrmals gesagt - am einfachsten und einprägsamsten wohl in #40 - bitte also einfach dort nachlesen.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-18


2019-12-08 14:20 - weird in Beitrag No. 40 schreibt:

Der Artikel findet sich hier, was da auf Seite 94 unten steht, ist aber im wesentlichen das, worüber wir hier schon die ganze Zeit reden, nämlich dass man die abc-Tripel
\[(a_k,b_k,c_k)=(1,3^{2^k}-1,3^{2^k})\quad (k\in\mathbb N^*)\] für einen einfachen Beweis verwenden kann, dass die Menge
\[M_0:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] nicht nach oben beschränkt ist. Im Gegensatz dazu könnte - ich sage "könnte", denn das ist eben genau die bisher unbewiesene abc-Vermutung - für jedes $\varepsilon >0$ die Menge
\[M_{\varepsilon}:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a,b,c)=1 \land a+b=c \right\}\] durchaus nach oben beschränkt sein.

Fehlt da nicht:
Die Menge aller Tripel $(a_k,b_k,c_k)$

\[M_0:=\left\{\frac c{\textrm{rad}(a_k,b_k,c_k)}\mid a,b,c\in\mathbb N^* \land \textrm{ggT}(a_k,b_k,c_k)=1 \land a+b=c \right\}\]
für die gilt $c_k > rad(a_k,b_k,c_k)$ ist nicht nach oben beschraekt, also sie ist unendlich gross, es gibt unendlich viele abc-treffer die in $M_0$ liegen und außerhalb keine?
Wohingegen die in wiki formulierte abc-Vermutung welche deiner $M_\epsilon$ wohl gleichkommt (tut sie dss?) , endlich viele abc-treffer oberhalb einer o.a. Grenze in der "epsilon" vorkommt, abhängig von eben diesem epsilon prognostiziert?

Und auch bei Gleichheit:
$\displaystyle \frac c{\textrm{rad}(a_k,b_k,c_k)} =1$ ist $(a_k,b_k,c_k)$ ein treffer, wo also alle Tripel in denen a,b und c quadratfrei sind, gelten auch als Treffer so am Rande 😉

Ist $M_\epsilon$ kleiner als $M_0$? Sind beide unendlich gross?
2 unendliche grosse Mengen können ja auch durch aus verschiedene "Groessen" oder "Maechtigkeiten" haben?
Danke




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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-09


Ich fasse nochmal zusammen ixch möchte gern Klarheit in meinem verständnis..zu der Sachen bekommen.

Sehr gut erklärt fand ich noch:
www.mathematik.de/dmv-blog/2434-neues-zur-abc-vermutung

Die ABC-Vermutung handelt von der simplen Addition a+b=c, beziehungsweise von der Seltenheit einer speziellen Eigenschaft von Tripeln a, b, c – wenn dies positive, ganze und teilerfremde Zahlen sind, und die Gleichung $\displaystyle rad(abc)\le c$  erfüllen.
Schreibt man die Primfaktoren aller Zahlen in eine Reihe und vergleicht deren Produkt mit c, ist es in den allermeisten Fällen größer.
 Eine Ausnahme – und das sind die Fälle, (Der Autor meint hier eben abc-Treffer mit $\displaystyle rad(abc \le c$) um die es geht) –
 ist zum Beispiel $\displaystyle 5+27=32$ mit dem Primzahlprodukt $\displaystyle 2*3*5=30$.
„Richtig selten“ werden solche Ausnahmen(abc-treffer), wenn man das Produkt $\displaystyle rad(abc)$ etwas hebt, indem man es mit mehr als eins potenziert. So ist zum Beispiel $\displaystyle 30^{1,1} > 32$.
 Aber wie selten (?) kommen die Ausnahmefälle = schaerfere (wenn man mit diese Formulierung erlaubt) abc-Treffer genau vor?
 Es ist zum Beispiel nur jede hundertste ganze Zahl durch hundert teilbar und trotzdem gibt es unendlich viele davon.
(Diese Anmerkung versteh ich nicht an dieser Stelle)

Die ABC-Vermutung besagt, dass es nur endlich viele solcher Zahlentripel gibt, bei denen dieses gehobene Produkt kleiner als c ist.
Wortgefechte hin oder her: Es sieht alles danach aus, als ob die Suche nach einem konsensfähigen Beweis der ABC-Vermutung noch weitergeht.

Ich rechne mal das Beispiel 5+27=32:
$\displaystyle 5+27=32$,
$\displaystyle rad(5,27,32)= 5*3*2 =30$.
$\displaystyle c = 32$.
$\displaystyle rad(abc)\lt c$.
$\displaystyle rad(abc)^{1.1} \approx 42,15$
nennt er "gehobenes Produkt".

Dann ist $\displaystyle rad(abc)^{1.1} > 32$.

Die Bedingung $\displaystyle c < K_{\epsilon}rad(abc)^{1+\epsilon}$ ist fuer beliebig kleine $\displaystyle\epsilon >0$ erfuellt, indem wir einfach K=1 setzen.

Und das gilt zumindest fuer alle Treffer mit $\displaystyle rad(abc)\le c)$

In der vorliegenden Vermutung nach Masser $\displaystyle c < K_{\epsilon}rad(abc)^{1+\epsilon}$ , wird aber eine Obergrenze fuer c verglichen mit rad(abc) vermutet.

Oder $\displaystyle\forall\epsilon \exists K:\frac{c}{rad(abc)^{1+\epsilon}} < K_{\epsilon}$.
Und aus der Form kann man ableiten, dass obiger Bruch nicht beleibig gross werden kann, und
$\displaystyle rad(abc)^{1+\epsilon}<K_{\epsilon}$ nicht beleibig klein  werden kann.
Allerdings und das verstehe ich nicht ist das $\displaystyle K_{\epsilon}$ beliebig hoch waehlbar, also keine echte Obergrenze.ist

Vielen Dank Fürs Lesen bis hierhin ;)



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