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Mathematik » Numerik & Optimierung » Störungssatz (Matrizen)
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Universität/Hochschule Störungssatz (Matrizen)
PhilipKempe
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 62
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17


Hallo an alle, wir haben heute in Numerik den "Störungssatz" diskutiert.

Wir haben ihn auch schon bewiesen, nur leider verstehe ich den Beweis nicht wirklich, und ich würde ihn gerne verstehen. Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand beim Verständnis helfen würde.


_______________________________



Hilfssatz 4.4


Behauptung
______


Die Matrix $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ habe die Norm $\vert \vert B \vert \vert > 1$.

Dann ist die Matrix $I + B$ regulär und es gilt


$\vert \vert (I + B)^{-1} \vert \vert \le \frac{1}{1 - \vert \vert B \vert \vert}$



Beweis
___


Für alle $x \in \mathbb{K}^{n}$ gilt:


$\vert \vert (I + B) x \vert \vert \ge \vert \vert x \vert \vert - \vert \vert Bx \vert \vert \ge (1 - \vert \vert B  \vert \vert) \vert \vert x \vert \vert$.

Wegen $1 - \vert \vert B \vert \vert > 0$ ist also $I + B$ injektiv und folglich regulär.

Mit der Abschätzung

$1 = \vert \vert I \vert \vert = \vert \vert(I + B) (I + B)^{-1} \vert \vert = \vert \vert (I + B)^{-1} + B(I + B)^{-1} \vert \vert \ge \vert \vert (I + B)^{-1} \vert \vert - \vert \vert B \vert \vert  \cdot \vert \vert(I + B)^{-1}  \vert \vert = \vert \vert (I + B)^{-1} \vert \vert \cdot ( 1- \vert \vert B \vert \vert) > 0$

___________________________________


Das war ein Hilfssatz, den wir benötigen, um den Störungssatz zu beweisen. Aber ich verstehe auch schon den Beweis vom Hilfssatz nicht. Dazu habe ich nämlich ein paar Fragen:


1. Frage:
____


Warum gilt die Ungleichung$\vert \vert (I + B) x \vert \vert \ge \vert \vert x \vert \vert - \vert \vert Bx \vert \vert $ ?

Es ist doch $\vert \vert (I + B) x \vert \vert \ge = \vert \vert Ix + Bx \vert \vert \ge \vert \vert I x \vert \vert + \vert \vert b x \vert \vert = \vert \vert I \vert \vert \cdot \vert x \vert + \vert \vert B \vert \vert \cdot \vert x \vert = \sup_{\vert \vert  x \vert \vert = 1}  \vert \vert I x \vert \vert \cdot \vert x \vert + \sup_{\vert \vert  x \vert \vert = 1}  \vert \vert B x \vert \vert \cdot \vert x \vert$


Aber warum kann man wie im Beweis abschätzen? Ich sehe es nicht.



2. Frage:
____


Warum folgert man aus der Injektivität von $I + B$, dass $I + B$ regulär ist? Ich dachte, $ I + B$ muss dafür bijektiv sein. Oder liegen in diesem Fall andere Gründe vor?



Die restliche Ungleichung verstehe ich vermutlich dann, wenn die 2 Fragen beantwortet sind.


Ich lasse den Störungssatz aus Zeitgründen gerade weg. Ich schaue ihn mir heute Abend noch mal an und poste meine Fragen dazu dann morgen hier rein.

Ich bin für jede Beteiligung dankbar.


Ich wünsche euch allen noch einen schönen Abend!



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Anno123
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.11.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-18 15:27


Hi Philip,

zu deiner ersten Frage: Das ist eine Folgerung aus der Dreiecksungleichung.

$|| x || - || Bx || = || x + Bx - Bx || - || Bx || \leq || x + Bx || + || -Bx || - || Bx || = || x + Bx || + || Bx || - || Bx || = || x + Bx ||$

Zu deiner zweiten Frage: Matrizen sind nichts anderes als lineare Abbildungen und irgendwo in deinen linearen Algebra Unterlagen solltest du folgenden Satz finden: "Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist". Damit bekommt man die Bijektivität geschenkt, wenn man Injektivität oder Surjektivität nachweisen kann.

Viele Grüße,
Anno



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PhilipKempe
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 62
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 00:27


Hallo, sehr vielen Dank für deine Antwort. Habe es jetzt verstanden!


Liebe Grüße,

Philip :-)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46010
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-20 13:52


Hi PhilipKempe,
die Bedingung ||B|| > 1 ist falsch, es muss ||B|| < 1 heißen.
Gruß Buri



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