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Mathematik » Numerik & Optimierung » Interpolationsfehler (Herleitung)
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Universität/Hochschule Interpolationsfehler (Herleitung)
Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17 15:52


Moin, Leute :-)

Wir hatten in der letzten Vorlesung den Interpolationsfehler im Zusammenhang mit dem Lagrange- und Newtonpolynom.

Wir hatten dazu einen Satz:




Meine Frage ist nun, wie man auf so einer Formel kommt. Besser gesagt, wie leitet man diese Formel her? Ich habe gar keine Intuition dahinter.


Da ich keine Intuition bzw. Verständnis für diese Formel habe, habe ich mir vor ein paar Tagen den Beweis zu diesem Satz angeschaut (weil man in vielen Beweisen mehr Verständnis dafür entwickelt), aber der Beweis hat mir nicht weiter geholfen.

Daher suche ich eine Herleitung dafür. Kann mir da jemand dabei helfen? Würde mich sehr freuen!



Schönen Tag noch,

euer Boogie!



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321ende
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17 16:52


hey,

nimm ein \(y \neq x_i\),

\(F(x) := f(x) - p(x) - K \prod (x-x_i)        \)

mit K so gewählt, dass \(F(y)=0\),  dann hat F mindestens (n+2) Nullstellen!

Nach dem Satz von Rolle erhältst du ein \(\xi\) mit \(F^{(n+1)}(\xi)=0\).
Mit dem wissen, dass \(p^{(n+1)}=0\), berechne die (n+1)-Ableitung von \(F(x)\) und dann erhältst du das Ergebnis durch

\(0=F^{(n+1)}(\xi)=..\)

(einfach nach K umstellen, und dieses  in 0=F(y) einsetzen).

Lg



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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 17:12


Hey, erst einmal vielen Dank für deine Mühe!

Den Beweis habe ich tatsächlich vor ein paar Tagen fast verstanden, bis auf die Tatsache, warum man den Satz von Rolle anwenden kann.


Um  den Satz von Rolle anzuwenden, muss noch $F(a) = F(b)$ gelten, aber ich sehe hier nicht, warum das gilt!

Und der Beweis des Satzes ist für mich nicht intuitiv. Also nach dem Beweis fällt für mich die Formel immer noch vom Himmel  biggrin

Ich hoffe, du weiß, was ich meine!


Ich versuche mir die Formel intuitiv herzuleiten, aber ich kriege es nicht hin frown

lg, Boogie



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321ende
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17 18:09


Naja die Anwendung des Satz von Roll besagt, dass zwischen zwei Nullstellen, immer ein Punkt mit Ableitung 0 ist. Der Satz wird einfach immer auf zwei Nullstellen angewendet, damit erhält man (n+1) Nullstellen der Ableitung für (n+2) Nullstellen der ursprünglichen Funktion.

\(0=F^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - K (n+1)! \)

hieraus erhalten wir

 \( K = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\)

und wir wissen, dass \(0=F(y)=f(y)-p(y)-K\prod (y-x_i)\)
ist, damit \(f(y)-p(y) = K\prod (y-x_i)\)

LG



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