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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Integration mehrdimensional im R^2
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Universität/Hochschule J Integration mehrdimensional im R^2
shirox
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Dabei seit: 20.08.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17 18:15


Hey, ich möchte folgendes Integral berechnen und wollte nur kurz mal fragen, ob ich die Grenzen richtig bestimmt habe

Gegeben sei die Menge A ⊂ R2 im ersten Quadranten, die von den Kurven xy =1, xy =2,y=x und y=4x berandet wird. Skizzieren Sie die Menge A, berechnen Sie ihren Flächeninhalt und das Integral fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Die Fläche habe ich mit Geogebra angegeben
Meine Frage ist jetzt, ob die beiden Schnittpunkte also von y=4x und y=2x und y=x und y=1x die Grenzen für y sind
Also insgesamt das iterierte Integral fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Vielen Dank für die Hilfe



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17 18:38


Huhu shirox,

die Grenzen für $y$ sind richtig, aber für die Integration über $x$ musst du hier eine Fallunterscheidung machen:
Für $ 1 \leq y \leq \sqrt{2}$ ($\sqrt{2}$ ist der $y$-Wert des Schnittpunktes der roten und blauen Kurve) bestimmen die grüne und rote Kurve die Grenzen bei der $x$-Integration.
Für $\sqrt{2} \leq y \leq 2$ ($2$ ist der $y$-Wert des Schnittpunktes der grünen und orangenen Kurve) bestimmen die grüne und blaue Kurve die Grenzen bei der $x$-Integration.
Und für $2\leq y \leq \sqrt{8}$ werden die Grenzen für die $x$-Integration durch die orangene und blaue Kurve bestimmt.

Liebe Grüße,
Conny



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 18:59


Okay, erstmal Vielen Dank und ich kann die drei Fälle auch nicht irgendwie zusammen packen? Ah ich glaube ich habs verstanden, habs mir einzeichnen lassen, dann hab ich je nach Fall verschieden Streifen, muss ich die dann addieren?
Bzw sollte anfangs meine obere Grenze für x 2/y sein, dass macht es aber auch nicht richtiger?

Und wenn wir schon mal dabei sind, ich hab eine recht ähnliche Aufgabe
Da soll ich folgende Fläche berechnen


Funktioniert das hier mit den x und y Grenzen genauso?
Also für y wieder die Schnittpunkte und für x verschiedene Fälle?

Danke



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17 22:37


Huhu shirox,

du kannst dein Integral aus dem ersten Beispiel auch als

$\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{8}} \int_{\max\{1/y, y/4\}}^{\min\{y,2/y\}} x^2\,y^2\,dx\,dy$

schreiben, aber wenn du das ausrechnen möchtest, musst du die Fallunterscheidung machen und das Integral über $y$ in die 3 Teilintegrale aufteilen.
Bei deinem zweiten Beispiel würde ich analog vorgehen.
Wenn du magst, kannst du ja einmal deine Ergebnisse posten :)

Liebe Grüße,
Conny



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 22:40


Schon mal Vielen Dank, also nur damit ich sicher gehe, ich addiere dann alle drei Fälle bzw Teilintegrale für die gesamte Fläche?



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-18 00:47


Huhu shirox,

genau, du bekommst 3 Teilintegrale und wenn du die aufaddierst, hast du ja gerade über die gesamte Fläche $A$ integriert. Die 3 Teilintegrale im ersten Beispiel entsprechen gerade den Teilflächen, wenn du parallel zur $x$-Achse durch den Schnittpunkt der roten und blauen Kurve und durch den Schnittpunkt der grünen und orangenen Kurve eine Gerade zeichnest und $A$ in die entsprechenden Teilflächen unterteilst.

Irgendetwas scheint beim Einbinden der Bilder schiefgelaufen zu sein, jetzt gerade wird in deinem Ursprungspost und im zweiten Beitrag jeweils das gleiche Bild angezeigt, was aber zum zweiten Beispiel gehört...

Liebe Grüße,
Conny



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 08:12


Nochmal vielen Dank, ja irgendwie hatte ich dahingehend schon beim erstellen Schwierigkeiten.



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shirox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
shirox hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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