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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz
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Universität/Hochschule Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz
HelLeon
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Dabei seit: 05.09.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-18 18:43


Hallo,

am Ende eines Beweises fehlt mir noch zu zeigen, dass wenn wir eine Folge $(b_n(z))$ haben, mit $|b_n(z)|\leq A_n$ für $z \in  K \subset \mathbb{C}$ und $\sum_{n=0}^\infty A_n < \infty$ mit $B(z)= \sum_{n=0}^\infty b_n(z)$ gilt, dass die Reihe über $(b_n(z))$ gleichmäßig konvergent ist. (Also für alle $z \in K$ können wir ein $\epsilon >0$ wählen mit zugehörigem $N>0$, so dass $|B(z)- \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|<\epsilon$.)

Ich weiß, dass es für alle $\epsilon>0$ es ein $M$ gibt, so dass $|\sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)-\sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|<\epsilon$ für alle $M_2>M_1 \geq M$ und habe gelesen, dass man $|B(z)- \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)| \leq |B(z)- \sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)| + |  \sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)  - \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|  $ für $M_1<M_2$ anwenden kann.

Kann man das so machen?
Dann müsste doch der erste Summand auch durch $\epsilon$ begrenzt sein. Warum wäre er das?

Oder wie kann man  das sonst zeigen?





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Anno123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 11:37


Hallo HelLeon,

vorab zwei Anmerkungen zu deiner Frage:

1) In deiner Definition von gleichmäßiger Konvergenz sind die Quantoren vertauscht. Um sicherzustellen, dass wir d'accord sind, hier die Definition. Die Folge $(b_n(z))$ heißt gleichmäßig konvergent, wenn es für alle $\epsilon > 0$ ein $N > 0$ gibt, sodass für alle $M > N$ und alle $z \in K$ gilt, dass $\left\lvert B(z) - \sum_{n=0}^M b_n(z) \right\rvert < \epsilon$. Etwas lose gesprochen bedeutet dies, dass die Funktionen Folge $(b_n(z))$ überall gleich schnell konvergiert.

2) Ich denke, dass dein Ansatz eher wenig zielführend ist. Sehen wir uns das mal an:
$\left\lvert B(z)−\sum\limits^{M_1}_{n=0}b_n(z)\right\rvert \leq \left\lvert B(z)−\sum\limits^{M_2}_{n=0}b_n(z)\right\rvert+\left\lvert \sum\limits^{M_2}_{n=0}b_n(z)−\sum\limits^{M_1}_{n=0}b_n(z)\right\rvert$
Nun fällt auf, dass die linke Seite und der erste Term auf der rechten Seite im Wesentlichen identisch sind (bis auf $M_1,M_2$, welche aber jeweils beliebig wählbar sind, solange sie nur groß genug sind). Somit beißt sich die Katze in den Schwanz.

Tatsächlich funktioniert der Beweis aber sehr ähnlich zu dem Beweis von gestern Abend. Da wolltest du zeigen, dass $(b_n(z))$ eine Cauchy-Folge ist und zwar unabhängig von $z$. Nun möchtest du etwas sehr ähnliches zeigen (Konvergenz unabhängig von $z$). Schau dir den Beweis nochmal an und versuch nicht die Abzweigung in Richtung Cauchy-Folge zu nehmen, sondern direkt hin zu deiner Behauptung.

Viele Grüße,
Anno



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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 20:58


Hallo Anno,

Danke für deine Antwort!

Also wir haben ja dort die Dreiecksungleichung verwendet.

Also wäre es so $|\sum_{n=0}^{\infty} b_n(z) - \sum_{n=0}^{M_1} b_n(z)| \leq |\sum_{n=M_1 +1}^{\infty} b_n(z)| \leq \sum_{n=M_1+1}^{\infty} A_n$ richtig?




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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 03:45


Aber bei dieser Abschätzung könnte man ja am Ende nur mit unendlich abschätzen und nicjt mit $\epsilon$....

2019-11-19 20:58 - HelLeon in Beitrag No. 2 schreibt:
$|\sum_{n=0}^{\infty} b_n(z) - \sum_{n=0}^{M_1} b_n(z)| \leq |\sum_{n=M_1 +1}^{\infty} b_n(z)| \leq \sum_{n=M_1+1}^{\infty} A_n$



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Anno123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-20 13:01


Hi hi,

2019-11-20 03:45 - HelLeon in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber bei dieser Abschätzung könnte man ja am Ende nur mit unendlich abschätzen und nicjt mit $\epsilon$....

dem möchte ich widersprechen. Wenn $\sum_{n=M_1+1}^\infty A_n$ nicht endlich ist, dann wäre $\sum_{n=0}^\infty A_n$ erst recht nicht endlich. Das ist aber nach Voraussetzung ausgeschlossen. Schreib mal die Definition von Konvergenz für die Reihe $\sum_{n=0}^\infty A_n$ hin. Das sollte weiterhelfen.

Viele Grüße,
Anno



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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 17:56


Hi Anno,

also nach der Definition gilt ja, dass es für alle $\epsilon >0$ ein $N>0$ gibt, so dass $|\sum_{n=0}^{\infty} A_n - \sum_{n=0}^{N_1} A_n|<\epsilon$ für alle $N_1>N$.
Also müssen wir einfach zu $\epsilon$ ein zugehöriges $N$ wählen und können den letzten Term in meiner Ungleichung mit $\epsilon$ abschätzen, richtig?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Anno123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-21 13:16


Hey hey,

2019-11-20 17:56 - HelLeon in Beitrag No. 5 schreibt:
Also müssen wir einfach zu $\epsilon$ ein zugehöriges $N$ wählen und können den letzten Term in meiner Ungleichung mit $\epsilon$ abschätzen, richtig?

vollkommen richtig. Insbesondere hängt die Wahl von $N$ hier nicht von $z$ ab, weil die Reihe $\sum_{n=0}^\infty A_n$ bereits nicht mehr von $z$ abhängt. Damit hast du, was du haben wolltest. Good job! smile



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