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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Schiefkörper der Quaternionen
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Universität/Hochschule Schiefkörper der Quaternionen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19


Hallo alle zusammen,

sei $\mathbb H$ der Schiefkörper der Quaternionen. Wir definieren nun eine Teilmenge durch $V:=\left\{xi+yj+zk\mid x,y,z\in\mathbb R\right\}\subset\mathbb H$. Des Weiteren sollte bereits vorher gezeigt werden, dass $G=\left\{q\in\mathbb H\mid q\overline{q}=1\right\}\subset \mathbb H\backslash \{0\}$ eine Untergruppe bildet.

Nun soll Folgendes gezeigt werden:


Zu $qvq^{-1}\in V$ habe ich eine Idee, ich versuche das mal gleich explizit nachzurechnen, aber beim Rest weiß ich noch nicht so ganz, wie ich da vorzugehen habe.


--Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Entschuldigt, dass ich ein bisschen vage darüber war, was mir genau klar ist.

Also ich habe gerade versucht zu zeigen, dass die Matrix von $\gamma_q$ bezüglich der $\mathbb R$-VR-Basis $(i,j,k)$ in $\text{SO}(3,\mathbb R)$ liegt. Dabei bin ich wie folgt vorgegangen: Ich habe $\gamma_q(i), \gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ berechnet, wobei $q$ beliebig ist.

Für $\gamma_q(i)$ kommt z.B. Folgendes raus: $\gamma_q(i)=\left( q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2\right)i+2(q_1q_2-q_0q_3)j+2(q_0q_2+q_1q_3)k$.

Nun würde ich dies in die erste Spalte der darstellenden Matrix $U$ reinschreiben, indem ich die VR-Basen $(i,j,k)$ und die kanonische Basis $(e_1, e_2, e_3)$ miteinander identifiziere: $i=e_1, j=e_2, k=e_3$. Damit kann das Bild $\gamma_q(i)$ als Vektor geschrieben werden. Dies habe ich auch für $\gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ getan und erhalte folgende Matrix $U$: \[U = \begin{pmatrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2q_1q_2-2q_0q_3 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & 2q_2q_3-2q_0q_1 \\ 2q_1q_3-2q_0q_2& 2q_0q_1 + 2q_2q_3 & q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}\] Also \(\underline{\text{theoretisch}}\) könnte ich nun die Determinanten dieser Matrix, die Transoponierte und dann $UU^{T}$ berechnen, um zu zeigen, dass $U\in \text{SO}(3,\mathbb R)$. Ich habe auch angefangen, die Determinate zu berechnen, und dann aufgehört.

Könnte mir jemand vielleicht einen Stupser geben, wie ich die Aufgabe lösen kann, ohne stundenlange stumpf zu rechnen? :-)

Viele Grüße,
Neymar


--Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-19


Was hier eigentlich hintersteckt, ist eine geometrische Interpretation von Quaternionen als Drehungen (im $3$-dimensionalen Raum).

Für ein Einheitsquaternion $q \in G$ kann man zunächst einmal einen Einheitsvektor $u \in V \cong \IR^3$ und einen Winkel $\theta$ finden mit $q = \cos(\theta/2) + u \sin(\theta/2)$. Die entscheidende Beobachtung ist nun: $\gamma_q : V \to V$ ist gerade die Drehung um die durch $u$ gegebene Achse mit dem Drehwinkel $\theta$ (insbesondere also in $SO(V)$ enthalten).

Ein Beweis steht zum Beispiel hier. Ich weiß allerdings nicht, ob du die dafür erforderlichen Voraussetzungen hast.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Hi,

das mit den Drehungen kommt erst im nächsten Aufgabenteil dran. Gibt es keine andere Möglichkeit?



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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