Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » A nilpotent → 1 - A invertierbar
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich A nilpotent → 1 - A invertierbar
niklasm
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-21


Hallo,

die Aussage des Titels ist zu beweisen.
Meine Idee wäre es, auf geschickte Weise ein Produkt zu bilden, das (1-A) als Faktor beinhaltet, z.B. durch Potenzieren sodass das Produkt = 1 + 0 ist, wobei die 0 irgendwie durch A^N, also wegen der Nilpotenz entsteht. (1-A) ist ausklammerbar und dann stünde das Inverse sozusagen direkt daneben.

Ich habe ein paar solcher Anläufe probiert, die bspw. ähnlich wie binomische Formeln aussahen, kam aber bisher auf nichts richtiges.

Ist meine Grundidee falsch? Vllt. habt ihr Tipps für mich.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 768
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21


Hallo,

wie hast du es denn probiert?

Es ist $(1+A)(1-A) = 1-A^2$, dann $(1+A^2)(1-A^2) = 1-A^4$, etc.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
endy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.01.2011
Mitteilungen: 3212
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-21


Hallo.

Tipp: geometrische Summenformel

Gruss endy



-----------------
Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
niklasm
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21


Oh wow, ja, okay.. dann ist das Ganze ja ein Einzeiler. Ich hatte erst etwas mit Variationen der 3. binomischen gearbeitet.

Vielen Dank!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 768
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-21


Nunja, aus der geometrischen Summenformel folgt eine Variante der 3. binomischen Formel. Und ebenso ist mein Vorschlag bloß die binomische Formel.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-21


Wo wir schon bei alternativen Beweisen sind:

1) Wenn $A$ nilpotent ist, ist $A$ ähnlich zu einer strikt oberen Dreiecksmatrix. Dann ist $1-A$ eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen, ist also invertierbar, ja es gilt sogar $\det(1-A)=1$.

2) Es reicht dies für Elemente $A$ in kommutativen Ringen zu zeigen. Wenn $1 - A$ nicht invertierbar ist, gibt es ein Primideal $\mathfrak{p}$ mit $1 - A \in \mathfrak{p}$. Weil $A$ nilpotent ist, gilt $A \in \mathfrak{p}$. Es folgt $1 \in \mathfrak{p}$, Widerspruch.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]