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Strukturen und Algebra » Gruppen » Spiegelungsgruppen
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Universität/Hochschule Spiegelungsgruppen
Sophus52
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-21 21:56


Guten Abend alle zusammen.

Ich bearbeite gerade eine Aufgabe:
“Es sind zwei endliche Spiegelungsgruppen und deren Vektorräume $(W’, V’)$ und $(W’’, V’’)$ gegeben. Zeige, dass das direkte Produkt $W = W’ \times W’’$ als endliche Spiegelungsgruppe operierend auf der orthogonalen direkten Summe $V = V’ \oplus V’’$ aufgefasst werden kann.”

Nun habe ich mir überlegt, dass die Elemente von $W$ die auf $V$ operieren so aussehen:
Sei $x \in W$ dann $x = (x’, x’’)$ wobei $x’ \in W’$ und $x’’ \in W’’$.
Das Produkt zweier endlicher Gruppen ist ja wieder endlich und durch die orthogonalität der beiden Räume $V’$ und $V’’$ kann man auch jede erdenkliche Spiegelung in zwei hintereinander geschaltete Spiegelungen aus $W’$ und $W’’$ zerlegen.
D.h. das $x$ von oben kann dann so $(x”, id_{W’’}) \circ (id_{W’}, x’’)$ geschrieben werden.
Damit wäre für mich alles gezeigt.  

Die Fragen die mich jetzt beschäftigen sind zum Einen, ob wirklich jede Spiegelung zerlegt werden kann - anschaulich ist mir das klar, aber warum es immer klappt ist mir nicht ganz klar.
Und zum Anderen bin ich mir nicht sicher ob das wirklich die richtige bzw. vollständige Antwort war?!

Vielleicht kann mir ja jemand bei meinen zwei Fragen helfen. Vielen Dank schon mal und euch allen die das lesen noch einen schönen Abend.



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