Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Moore-Penrose-Inverse eines Spaltenvektors bestimmen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Moore-Penrose-Inverse eines Spaltenvektors bestimmen
katharinax3
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-22


Hallo,

auf einem Aufgabenblatt in Numerische Lineare Algebra haben wir die Aufgabe gestellt bekommen, zu einem beliebigen Spaltenvektor $u \in \mathbb{R}^m$, $u \neq 0$ die Pseudoinverse zu bestimmen.

Ich hatte die Formel
\[u^+ = \frac{1}{u^t u}u^t\] dazu schon einmal auf Wikipedia gesehen, von daher war der Ansatz, da die Pseudoinverse mit den in der Vorlesung gegebenen Eigenschaften ja eindeutig ist, eben diese Eigenschaften nachzuprüfen. Kein Problem.

Meine Frage ist jedoch: Wie leitet man diese Formel für $u^+$ her?
Mein erster Ansatz war es, die Singulärwertzerlegung zu bestimmen. Ich habe jedoch absolut keine Idee, wie ich die Eigenwerte von $B = u^tu$ bestimmen soll. Gibt es da einen Trick?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2850
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22


Hallo,

Wenn $u$ ein Spaltenvektor ist, so ist $u^tu$ eine $1\times 1$ Matrix mit dem Eigenwert ...

Für $u\neq 0$ hat $uu^t$ den Rang 1. Außerdem ist die Matrix symmetrisch. Das bedeutet, dass du nur einen Eigenvektor finden musst. Welcher könnte das sein?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
katharinax3
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23


Hallo,

erstmal Danke für deine Antwort.

Da $u^tu$ die 1x1-Matrix mit dem Skalarprodukt $\left<u,u\right>$ als einziges Element ist, sollte der Eigenwert doch $\left<u,u\right> = \lVert u \rVert^2$ sein, zum Eigenvektor $\left[1\right]$, korrekt?

Bei $uu^t$ kann ich nun zwar nachvollziehen wieso die resultierende Matrix symmetrisch ist und den Rang 1 hat, beim Eigenwert komme ich leider noch nicht weiter :(

Liebe Grüße,
Katharina



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2850
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-23


Fang mit den Eigenvektoren zu Null an. Da der Rang von $uu^t$ Eins ist, ist die algebraische Vielfachheit von Null gleich $n-1$. Weiter ist die Matrix symmetrisch und somit diagonalisierbar. Also hat der Eigenraum von Null die Dimension $n-1$. Sei $A=uu^t$, so gilt
\[Ax=\langle u,x\rangle u\] für alle $x\in\mathbb{R}^n$. Wann ist $Ax=0$?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
katharinax3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]