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Lineare Algebra » Vektorräume » Vektoren Elemente, Basis, Dimension bestimmen
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Autor
Universität/Hochschule Vektoren Elemente, Basis, Dimension bestimmen
Peter43
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-24


Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.

Die Aufgabe lautet, sei

U: (1 0 0 0), (1 1 1 0), (0 1 0 1), (1 0 1 1)  Z^4 und 2 steht unter der 4. Weiß gerade nicht, wie ich das hier schreiben kann. Aber ich hoffe ihr wisst, was ich meine.

Ich soll alle Elemente von U aufschreiben, eine Basis von U und die Dimension angeben

Ich habe jetzt zuerst eine Matrix gebildet und dabei kam mittels Gauß raus, dass es keinen Freiheitsgrad gibt. Also ist dim(U)=4. Könnte mir schonmal jemand sagen, ob dass richtig interpretiert ist?

Ich tu mich gerade etwas schwer mit der Bestimmung aller Elemente, da weiß ich gar nicht wie ich vorgehen muss.

Für die Betsimmung der Basen muss ich ja das Z irgendwie beachten. Ich muss da glaube ich, die ersten 2 Zeilen meines Ergebnisses durch das Gaußverfahren nur beachten.

Hier einmal das Ergebnis was ich daraus hatte.

x1*x2+x4=0
x2+x3=0
-x3+x4=0
2x4=0

Laut dem Z müsste ich ja dann nur

(1 1 0 1) und (0 1 1 0) betrachten.

Aber wie bekomme ich dann die Basis da raus?

Kann mir da jemand einen Tipp geben.



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-24


Hallo,


Z^4 und 2 steht unter der 4. Weiß gerade nicht, wie ich das hier schreiben kann. Aber ich hoffe ihr wisst, was ich meine.

Du meinst also wohl $\mathbb{Z}_2^4$. Du kannst meinen Beitrag zitieren um den Code zu sehen.


Ich tu mich gerade etwas schwer mit der Bestimmung aller Elemente, da weiß ich gar nicht wie ich vorgehen muss.

Wie sehen denn die Elemente von $\mathbb{Z}_2$ aus, bzw. wie viele Elemente hat der Körper $\mathbb{Z}_2$?


Ich habe jetzt zuerst eine Matrix gebildet und dabei kam mittels Gauß raus, dass es keinen Freiheitsgrad gibt. Also ist dim(U)=4.

Das sollte leider falsch sein.
Dein grundsätzliches Vorgehen ist aber korrekt, wenn du die Matrix richtig aufgestellt hast.
Die genannten Vektoren sind linear abhängig.

Gegebenenfalls musst du deine Rechnung zeigen.

Ich gehe davon aus, dass du nicht so recht mit $\mathbb{Z}_2$ zurecht kommst.
Vielleicht musst du das noch einmal nachschlagen, wie man in diesem Körper rechnet.


Für die Betsimmung der Basen

Ich verstehe nicht was du hier tust.





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Peter43
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Ich habe nochmal die Matrix berechnet und bekomme nun am Ende diese Matrix raus:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Aber bin gerade unsicher, was das jetzt für meine Dimension heißt.

Hm hab mal ein wenig wegen dem Z geguckt. Heißt das, dass Z 2^4 Vektoren enthält? Und Z2 wäre dann {0,1}. Weiter muss ich nochmal schaun...



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2672
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-24


Hallo, du hast die Matrix falsch berechnet. Die Vektoren aus dem Themenstart sind linear abhängig, da die Summe der letzten drei Vektoren Null ist. Zeige uns deine Rechnung.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2805
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-11-24 11:02 - Peter43 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe nochmal die Matrix berechnet und bekomme nun am Ende diese Matrix raus:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Ich weiß jetzt nicht, wie du darauf gekommen bist, aber das ist falsch.

2019-11-24 11:02 - Peter43 in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber bin gerade unsicher, was das jetzt für meine Dimension heißt.

Hm hab mal ein wenig wegen dem Z geguckt. Heißt das, dass Z 2^4 Vektoren enthält? Und Z2 wäre dann {0,1}. Weiter muss ich nochmal schaun...

Also: der gesamte \(\IZ_2^4\) besteht aus \(2^4=16\) Vektoren, das ist richtig. Dein Raum hier hat ja aber nicht ganz umsonst das Symbol U wie Unterraum bekommen...

Schreibe deine Vektoren als Spaltenvektoren zu einer Matrix zusammen und wende auf diese das Gauß-Verfahren an, um die Dimension zu bestimmen.

Anschließend können wir uns dann um eine Basis von U kümmern.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Peter43
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Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Ok also ich mach das einmal ausführlich:

1 1 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1

dann rechne ich erstmal von zeile 2 zu Zeile 3 * (-1)

1 1 0  1
0 1 1  0
0 0 -1 1
0 0 1  1

dann rechne ich von zeile 3 zu Zeile 4 * (1)

1 1 0  1
0 1 1  0
0 0 -1 1
0 0 0  2

so war das bei meinem ersten Versuch. Wäre das OK?




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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2672
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-24


Bis hierhin ist es ok. Beachte, dass 2=0 ist. Du brauchst auch nie mit -1 multiplizieren, da -1=1 ist. Aber du machst auch nichts verkehrt, wenn du mit -1 multiplizierst.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

in \(\IF_2\) gibt es keine negativen Zahlen, es gibt nur \(0\) und \(1\) als neutrale Elemente der Addition bzw. der Multiplikation und dann noch \(1+1=0\).

Wenn man noch \(2=0\) und \(-1=1\) beachtet, dann ist es richtig. Welche Dimension folgt dann aus deiner Rechnung?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Ok, also ist die letzte Zeile eine Nullzeile, wenn 2=0. Dann ist es linear abhängig, weil es einen Freiheitsgrad hat.

Also müsste die dim(U)=3



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-24


Hallo,

2019-11-24 15:23 - Peter43 in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok, also ist die letzte Zeile eine Nullzeile, wenn 2=0. Dann ist es linear abhängig, weil es einen Freiheitsgrad hat.

Also müsste die dim(U)=3

so ist es. Jetzt brauchst du eine Basis (und alle Vektoren von U angeben war ja auch noch ein weiterer Punkt).


Gruß, Diophant



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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Ich komme gerade echt nicht weiter. Ich könnt ihr mir vielleicht noch eine  Tipp geben?

Alles was ich im Internet finde verstehe ich nicht so ganz



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-11-24 18:51 - Peter43 in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich komme gerade echt nicht weiter. Ich könnt ihr mir vielleicht noch eine  Tipp geben?

Alles was ich im Internet finde verstehe ich nicht so ganz

Was hast du gefunden und was verstehst du nicht so ganz? Das müsstest du schon konkret ausformulieren.

Wenn wir jetzt wissen, dass \(\operatorname{dim}(U)=3\) ist, aus wie vielen Vektoren besteht dann die Basis wohl?

So, vier Vektoren aus U hast du ja gegeben. Du könntest damit beginnen, unter diesen drei linear unabhängige auszuwählen. Da muss man nicht lange suchen...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Ok, wenn dim(U)=3, dann besteht die Basis aus 3 Vektoren.

Dann wäre das z.B. eine Basis B={(1 0 0), (0 1 0), (1 1 1)}



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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Achja und bei allen Elementen von U gebe ich dann einfach alle Kombinationen, 16 Stück an?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

nach wie vor bist du im \(\IZ_2^4\). Deine Vektoren müssen vier Komponenten besitzen. Nimm für die Basis wie gesagt drei von den vier gegebenen Vektoren, sie müssen nur linear unabhängig sein.

Weiter besitzt U nicht \(16\) sondern \(2^3=8\) Vektoren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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