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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Diagrammatische Notation von Darstellung von Köchern
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Universität/Hochschule J Diagrammatische Notation von Darstellung von Köchern
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-27 04:54


Hallo Freunde,

ich bin ein wenig verwirrt über eine Notation in einer Vorlesung über Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren. Diese Schreibweise wurde nur mündlich erklärt, aber nie schriftlich aufgetragen - und ich bin ehrlich gesagt ein wenig verwirrt. Ich denke nicht, dass es eine ad hoc Notation ist, deshalb hoffe ich, dass mir hier jemand helfen kann. Folgendes ist eines der ersten Beispiele mit dieser Notation in der Vorlesung.

Sei $A$ eine endlich-dimensionale Algebra über einem Körper $K$ und $Q = 1 \to 2 \leftarrow 3$ ein Köcher. Mit $S_n$ bezeichnen wir die (einfache) Darstellung von $Q$ über $A$ mit $$S_i(j) = \begin{cases} 0 \quad & i \neq j \\ K & i = j \end{cases}.$$ Dann sind die projektiven unzerlegbaren Moduln genau Folgende $$ P_{S_1} = \begin{matrix} S_1 \\ S_2 \end{matrix}, \ P_{S_2} = S_2, \ P_{S_3} = \begin{matrix} S_3 \\ S_2 \end{matrix}.$$ Von einem Köcher $Q = 1 \leftarrow 2 \to 3$ wären es $$ P_{S_1} = S_1, \ P_{S_2} = \begin{matrix} \ S_2 \ \\ S_1 \ S_3 \end{matrix}, \ P_{S_3} = S_3.$$Meine Fragen also:
- Was bedeutet diese Notation?
- Wie sieht man, dass das genau die projektiven unzerlegbaren Moduln sind?

(Ich weiß, dass projektiv unzerlegbare Moduln zu den einfachen Moduln $S_k$ korrespondieren und durch Idempotente konstruiert werden können. Außerdem sollte die Notation oben mit dem Radikal und dem Socle von Moduln zusammenhängen.)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03 00:23


Vermutlich soll die Notation Folgendes aussagen. Am Beispiel von $P_{S_2} = \begin{matrix} \ S_2 \ \\ S_1 \ S_3 \end{matrix}$ möchte ich das zeigen.

Die unterste Zeile bedeutet $\operatorname{Soc}(P_{S_2}) = S_1 \oplus S_3$. Man geht danach induktiv vor. Es soll dann $\operatorname{Soc} \left(P_{S_2}/(S_1 \oplus S_3) \right) = S_2$ sein, usw. Die Zeilen sind also die Kompositionsfaktoren in der Socle Series.

Die Notation hat vermutlich einige Schwächen, aber ich habe derzeit keine Zeit mich ausgiebig damit zu beschäftigen.




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Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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