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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Gleichung vierten Grades
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Schule Gleichung vierten Grades
mhipp
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 264
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-27


Hi,

habt ihr eine Idee, wie man x^2 + sqrt(x) = 18 genau auflösen kann (x=4)? Oder geht das wirklich nur numerisch/durch Probieren?


LG und Danke!
M. Hipp



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 790
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-27


Hallo

Du kannst u=sqrt(x) setzen, dadurch ergibt sich eine Gleichung vierten Grades. Dafür gibt es eine Lösungsformel, die aber sehr kompliziert ist. Aber du kannst ja die Teiler des Absolutglieds systematische probieren.

Gruß Caban



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-27


Hallo,


geht das wirklich nur numerisch/durch Probieren?

Jein, wobei man hier ja die Lösung doch recht gut sieht und dann mit weiteren Überlegungen verifizieren kann, dass es die einzige Lösung ist.

Etwa weil die Funktion $f:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}_{\geq ß}$, $f(x)=x^2+\sqrt{x}$ monoton steigend ist, also injektiv. Daher kann es nur eine Lösung der Gleichung $f(x)=c$ mit $c\geq 0$ geben.


Grundsätzlich sind hier numerische Methoden noch nicht notwendig. Nach einer Substitution $z=\sqrt{x}$ hat man ja die besagte Gleichung vierten Grades.
Für so etwas gibt es also noch Lösungsformeln.
Diese sind aber dermaßen jenseits von gut und böse, dass man mit einer numerischen Methode eigentlich besser beraten ist...

de.wikipedia.org/wiki/Polynom_vierten_Grades

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3472
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-27


Hallo mhipp,

bringe alle Ausdrücke, die keine Quadratwurzeln enthalten, auf die eine Seite des Gleichheitszeichens und die Qudratwurzel auf die andere. Dann quadriere beide Seiten.

Alternativ könntest du $x:=u^2$ substituieren und so die Wurzel loswerden.

Das Problem ist wahrscheinlich, dass sich in beiden Fällen eine Gleichung vierten Grades ergibt, die weder biquadratisch ist noch sonst elementar vereinfacht werden kann. Aber das Polynom kann faktorisiert werden (besonders da du ja schon eine Lösung kennst).

Gruß shadowking

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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