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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Freiheitsgrade in der statistischen Physik und Gleichverteilungssatz
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Universität/Hochschule J Freiheitsgrade in der statistischen Physik und Gleichverteilungssatz
Cxl
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Dabei seit: 24.04.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-29 14:41


Sehr geehrte Damen und Herren,

ich wende mich mit Fragen an euch, die sich aus der Bearbeitung einer Übungsaufgabe ergaben.

In der Aufgabe betrachten wir ein System von $N$ Dimeren, wobei ein Dimer aus zwei durch eine Feder verbundene Partikel der Masse $m$ besteht. Die Feder habe die Federkonstante $m\omega^2$. Die Hamilton-Funktion des System ist vorgegeben und lautet
\[
   H = \sum_{i=1}^N \left\{ \frac{1}{2m} (\vec{p}_{2i}^2 + \vec{p}_{2i-1}^2) + \frac{1}{2} m \omega^2 \lvert \vec{q}_{2i-1} - \vec{q}_{2i} \rvert^2 \right\}\text{.}
\] Zu berechnen sind verschiedene Dinge wie die Zustandssumme, die innere Energie und $\langle \lvert \vec{q}_{2i-1} - \vec{q}_{2i} \rvert^2 \rangle$, wobei wir mit $\langle \cdot \rangle$ den Erwartungswerte bezüglich des kanonischen Ensembles bezeichnen.

Ich habe zunächst die Zustandssumme $\mathcal{Z}$ berechnet. Dann habe ich daraus $F = -\beta^{-1} \log{\mathcal{Z}}$ ermittelt, um schließlich über $-S = \partial_T F \rvert_{V,N}$ die innere Energie $U = F + TS$ zu ermitteln. Mein Ergebnis lautet $U=\frac{9}{2}NkT$.

Nun lässt sich die innere Energie aber auch berechnen, indem man den Gleichverteilungssatz bemüht. Etwas genauer: wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass
\[
\left\langle x_i \frac{\partial H}{\partial x_j} \right\rangle = \delta_{ij} kT
\] gilt, wobei $x_i$, $i=1,\dots, 2N \cdot 2 \cdot 3$, hier entweder ein Orts- oder Impulskoordinate bezeichnet.

Daraus folgt jedoch, dass
\[
  kT = \left \langle q_{2l,k} \frac{\partial V}{ \partial q_{2l,k}} \right \rangle \quad \text{oder} \quad 3kT = \left \langle \vec{q}_{2l} \cdot \nabla_{2l} V \right \rangle = m \omega^2 \langle \vec{q}_{2l} \cdot (\vec{q}_{2l} - \vec{q}_{2l-1})\rangle\text{.}
\] wobei $V$ unser Potential bezeichnet und $l = 1,\dots,N$. Analog erhalten wir für die ungeraden Indizes
\[
3kT = \left \langle \vec{q}_{2l-1} \cdot \nabla_{2l-1} V \right \rangle = m \omega^2 \langle - \vec{q}_{2l-1} \cdot (\vec{q}_{2l} - \vec{q}_{2l-1})\rangle\text{.}
\] Fassen wir beide Gleichungen zusammen, so sehen wir, dass
\[
6kT = m \omega^2 \langle \lvert \vec{q}_{2l} - \vec{q}_{2l-1} \rvert^2\rangle\text{.}
\] Dies führt mich aber auf ein Problem, da somit folgt, dass
\[
   \langle V \rangle = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N m \omega^2 \langle \lvert \vec{q}_{2l} - \vec{q}_{2l-1} \rvert^2\rangle = 3NkT\text{.}
\] Und damit wäre
\[
   U = \langle H \rangle = \langle K \rangle + \langle V \rangle = 3NkT + 3NkT = 6NkT\text{,}
\] wobei wir den Erwartungswert der kinetischen Energie $\langle K \rangle$ ebenfalls unter Verwendung der obigen Formel berechnen können.

Das Ergebnis, welches ich über die Berechnung der Zustandssumme bzw. der freien Energie erhielt, stimmt also nicht mit der Vorhersage des Gleichverteilungssatzes überein. Wie kann das sein? Intuitiv müsste das Potential einen Beitrag von $\frac{3}{2}NkT$ liefern, aber ich weiß einfach nicht, wo mir der Faktor $\frac{1}{2}$ flöten geht.

Außerdem fürchte ich das Konzept 'Freiheitsgrade eines Systems' nicht richtig verstanden zu haben. In beiden Versionen meines Ergebnisses erhalte ich, dass die Zahl der Freiheitsgrade des Systems $6N$ übersteigt, doch wie kann das sein? Ich habe Freiheitsgrade eines Systems als die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten in Erinnerung, die ich benötige, um die Orte der Teilchen festzulegen. Wenn ich $2N$ Teilchen wie im obigen Fall betrachte, die sich in einem dreidimensionalen Raum bewegen, wie kann das System dann mehr als $6N$ Freiheitsgrade besitzen? Weniger als $6N$ Freiheitsgrade würde mir hingegen einleuchten, da ich durch Zwangsbedingungen die Zahl der benötigten Koordinaten effektiv reduzieren kann. Aber wo stecken die zusätzlichen Freiheitsgrade meines System?

Außerdem ist mir nicht klar, warum manche Autoren nicht etwa die Zahl der generalisierten Koordinaten als Freiheitsgrade zählen, sondern die verallgemeinerten Impuls hinzuzählen (siehe etwa hier, Seite 77).

Ich bin jeder Art von Hilfe sehr zugetan. Es würde mich freuen, von euch zu hören

Viele Grüß,
Cxl



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jacha2
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Mitteilungen: 997
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-29 21:11


Salut,

ich habe nicht alles en dètail nachgeprüft, aber mit der Partikel-Numerierung komme ich nicht ganz klar. Oben bedeutet der Index i die Dimerennummer, aber irgendwo in der Mitte Deiner Betrachtungen scheint sich das zu verlieren.

Ein klassisches Dimer hat 3 translatorische, 2 rotatorische und einen oszillatorischen Freiheitsgrad (die Schwingungsamplitude).  

Adieu



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Cxl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29 21:43


Hallo jacha2,

der Index $i = 1, \dots, N$ gibt die Dimerennummer an. D.h. Dimer $i=1$ ist aufgebaut aus den Teilchen 1 und 2, welche die Koordinaten bzw. Impulse $\vec{q}_1, \vec{q}_2$ bzw. $\vec{p}_1, \vec{p}_2$ besitzen. Das Dimer mit Index $i=2$ besteht aus den Partikeln 3 und 4. Für ein allgemeines $i$ haben wir dann die Teilchen $2i-1$ und $2i$.
Ich war der Meinung, diese Notation konsequent beibehalten zu haben. Wenn du mir aber sagst, an welcher Stelle ich mich vertan haben könnte, wäre ich dir sehr dankbar. Beachte, dass der Einschub über den Gleichverteilungssatz die Indizes $i,j$ im generischen Sinne ohne Bezug auf die Dimerennummer verwendet (das habe ich womöglich etwas unglücklich dargestellt).

Edit: Oder stört dich, dass ich weiter unten im Text $l$ anstelle von $i$ verwende? In beiden Fällen meine ich damit die Dimerennummer.

Viele Grüße,
Cxl



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-01 22:30


2019-11-29 14:41 - Cxl im Themenstart schreibt:
wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass
\[
\left\langle x_i \frac{\partial H}{\partial x_j} \right\rangle = \delta_{ij} kT
\] gilt, wobei $x_i$, $i=1,\dots, 2N \cdot 2 \cdot 3$, hier entweder ein Orts- oder Impulskoordinate bezeichnet.

Hier hast du wesentliche Voraussetzungen unterschlagen.

Um zu erkennen, dass der Satz in dieser Form nicht stimmen kann, musst du nur eine Variable $x_i$ betrachten, von der $H$ gar nicht abhängt. Dann steht da $0=kT$, was ja sicher nicht sein kann.

Wenn du in deinem Beispiel von den Koordinaten $\mathbf q_{2i}$ und $\mathbf q_{2i-1}$ zu den Schwerpunkts- und Relativkoordinaten $(\mathbf q_{2i}+\mathbf q_{2i-1})/2$ und $\mathbf q_{2i}-\mathbf q_{2i-1}$ übergehst, hängt $H$ nur von den Relativkoordinaten ab, und auf genau die ist der Satz auch anwendbar.

2019-11-29 14:41 - Cxl im Themenstart schreibt:
aber ich weiß einfach nicht, wo mir der Faktor $\frac{1}{2}$ flöten geht.

Der Faktor $1/2$ kommt dadurch zustande, dass es nur $3N$ Relativkoordinaten gibt (und nicht $6N$ Koordinaten wie in deiner Rechnung).

2019-11-29 14:41 - Cxl im Themenstart schreibt:
In beiden Versionen meines Ergebnisses erhalte ich, dass die Zahl der Freiheitsgrade des Systems $6N$ übersteigt, doch wie kann das sein?

Ein Freiheitsgrad ist erstmal eine Koordinaten im Phasenraum. Meistens meint man aber, wenn man von den Freiheitsgraden eines Systems spricht, nicht alle Freiheitsgrade, sondern nur solche, von denen die Hamiltonfunktion "wirklich abhängt". (Was genau dieses "wirklich abhängen" bedeutet, kannst du im Beweis des Gleichverteilungssatzes nachlesen.)

Beispielsweise hat ein ideales Gas aus $N$ Punktteilchen einen Phasenraum der Dimension $6N$, aber in die Hamiltonfunktion gehen nur die Geschwindigkeiten und nicht die Orte ein. Daher bleiben nur $3N$ relevante Freiheitgrade – also 3 pro Gasteilchen – übrig.

Dein System hat einen Phasenraum der Dimension $12N$, und in die Hamiltonfunktion gehen alle Geschwindigkeiten und von den Orten nur die Relativkoordinaten ein. Daher bleiben nur $9N$ relevante Freiheitsgrade – also 9 pro Dimer – übrig.

--zippy



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Cxl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02 15:31


Hallo zippy,

danke für deine Antwort. Die Erklärung zu der Bedeutung der Freiheitsgrade ist ausgezeichnet.

Der erste Teil deiner Antwort lässt mich aber noch mir Fragen zurück. Insbesondere sehe ich nicht, wieso der Gleichverteilungssatz für die ursprünglichen Koordinaten nicht gilt. Schließlich hängt die Hamilton-Funktion doch bereits von jeder Koordinate ab. Oder anders formuliert: welche Bedingung für die Gültigkeit des Gleichverteilungssatzes ist hier nicht erfüllt? Natürlich war es auch mein erster Verdacht, dass der Satz hier keine Anwendung findet, doch ich konnte dafür keine Begründung finden.

Womöglich sehe ich gerade den berühmt-berüchtigten Wald vor lauter Bäumen nicht.

Gruß,
Cxl



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-02 20:31


2019-12-02 15:31 - Cxl in Beitrag No. 4 schreibt:
Insbesondere sehe ich nicht, wieso der Gleichverteilungssatz für die ursprünglichen Koordinaten nicht gilt.

Du musst doch nur mit einer Variablen, von der der Hamiltonoperator nicht abhängt und der Gleichverteilungssatz somit das "komplett unsinnige" Ergebnis $0=kT$ liefert, den Beweis durchgehen und sehen, wo er schief geht.

Für dein Dimer-Gas solltest du also eine der Komponenten von $(\mathbf q_{2i}+\mathbf q_{2i-1})/2$ hernehmen. Du kannst auch, als einfacheres Beispiel für den Anfang, eine Ortskoordinate eines idealen Gases aus Punktteilchen betrachten.

Wenn du den Beweis für die kanonische Gesamtheit führst wie hier in der Wikipedia, wirst du feststellen, dass es die Stelle "the first term is usually zero" ist, wo die Probleme losgehen.



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Cxl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02 23:59


2019-12-02 20:31 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:

Du musst doch nur mit einer Variablen, von der der Hamiltonoperator nicht abhängt und der Gleichverteilungssatz somit das "komplett unsinnige" Ergebnis $0=kT$ liefert, den Beweis durchgehen und sehen, wo er schief geht.

Aber genau diesen Punkt verstehe ich nicht. Dass für Koordinaten $x_i$ mit $\partial H / \partial x_i = 0$ der Gleichverteilungssatz nicht anwendbar ist, ist mir klar. Aber diese Situation scheint mir hier nicht vorliegend zu sein. Betrachte ich etwa eine Koordinate $q_{2i, k}$ mit $i \in \{ 1, \dots, N \}$ und $k \in \{ 1, 2, 3 \}$, dann gilt doch
\[
   \frac{\partial H}{\partial q_{2i, k}} = m \omega^2 (q_{2i, k} - q_{2i-1, k}) \text{,}
\] d.h. die Ableitung verschwindet nur, wenn $q_{2i, k} = q_{2i-1, k}$ gilt.

2019-12-02 20:31 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn du den Beweis für die kanonische Gesamtheit führst wie hier in der Wikipedia, wirst du feststellen, dass es die Stelle "the first term is usually zero" ist, wo die Probleme losgehen.

In der Sprache von Wikipedia besitzt der Randterm doch in diesem Fall die Form
\[
\mathcal{N} \int [e^{-\beta H(q,p)} q_{2i,k}]_{q_{2i,k}=-\infty}^{q_{2i,k}=+\infty} \dd \Gamma_{2i,k}
\] und da $|\vec{q}_{2i}-\vec{q}_{2i-1}|^2 \to \infty$ für $q_{2i,k} \to \pm \infty$ und $\lim_{x \to \pm \infty} xe^{-x^2} = 0$, bin ich der Meinung, dass dieser verschwinden sollte.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-03 18:33


2019-12-02 23:59 - Cxl in Beitrag No. 6 schreibt:
Dass für Koordinaten $x_i$ mit $\partial H / \partial x_i = 0$ der Gleichverteilungssatz nicht anwendbar ist, ist mir klar. Aber diese Situation scheint mir hier nicht vorliegend zu sein.

Diese Situation liegt aber bei deinem Dimer-Gas vor, wenn du die Variablen $$\mathbf u_i=(\mathbf q_{2i}+\mathbf q_{2i-1})/2\;,\quad
\mathbf v_i=\mathbf q_{2i}-\mathbf q_{2i-1}$$einführst und dann die $\mathbf u_i$ betrachtest.

Wenn dir nun klar ist, dass für die Komponenten der $\mathbf u_i$$$
\left<u_{i,k}\,{\partial H\over\partial u_{i,k}}\right>=0
$$gilt, musst du nur auf die ursprünglichen Koordinaten zurücktransformieren,$$
\mathbf q_{2i}=\mathbf u_i+\frac12\,\mathbf v_i\;,\quad
\mathbf q_{2i-1}=\mathbf u_i-\frac12\,\mathbf v_i$$$$
{\partial\over\partial\mathbf q_{2i}}=\frac12\,
  {\partial\over\partial\mathbf u_i}+
  {\partial\over\partial\mathbf v_i}\;,\quad
{\partial\over\partial\mathbf q_{2i-1}}=\frac12\,
  {\partial\over\partial\mathbf u_i}-
  {\partial\over\partial\mathbf v_i}\;,
$$um wieder auf den Faktor $1/2$ zu stoßen:$$
\left<q_{2i,k}\,{\partial H\over\partial q_{2i,k}}\right>=
\left<q_{2i-1,k}\,{\partial H\over\partial q_{2i-1,k}}\right>=
\frac12\,kT$$
2019-12-02 23:59 - Cxl in Beitrag No. 6 schreibt:
In der Sprache von Wikipedia besitzt der Randterm doch in diesem Fall die Form
\[
\mathcal{N} \int [e^{-\beta H(q,p)} q_{2i,k}]_{q_{2i,k}=-\infty}^{q_{2i,k}=+\infty} \dd \Gamma_{2i,k}
\] und da $|\vec{q}_{2i}-\vec{q}_{2i-1}|^2 \to \infty$ für $q_{2i,k} \to \pm \infty$ und $\lim_{x \to \pm \infty} xe^{-x^2} = 0$, bin ich der Meinung, dass dieser verschwinden sollte.

Wenn du dieses Interal in den Koordinaten $\mathbf u_i$ und $\mathbf v_i$ hinschreibst, wirst du sehen, dass der Integrand nicht integrabel ist (weil das Integral über seinen Betrag $\infty$ liefert). Dieses Integral bildet also kein verlässliches Fundament für einen Beweis.



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Cxl
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 32
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03 21:20


Oh, da hätte ich wohl gründlicher über das Integral nachdenken sollen. Ich danke dir, zippy. Jetzt sollte alles klar sein.



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