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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen III
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Universität/Hochschule Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen III
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-30


Hallo,

könnt Ihr bitte mal schauen, ob meine Vermutung unten mathematisch und sprachlich korrekt formuliert ist?

Wie kann man sie noch besser formulieren?

Es geht darum, wann eine Gleichung $R(E(z_0),e^{p(E(z_0))})=0$ keine Lösungen $z_0$ in den Elementaren Zahlen (= Liouvillesche Zahlen) $\mathbb{L}$ haben kann.

Wie kann man die Vermutung noch leichter verständlich für Nicht-Mathematiker formulieren?

Vermutung:
Seien
$E$ eine elementare Funktion,
$P(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$ irreduzibel über $\overline{\mathbb{Q}}$,
$p(x)\in\overline{\mathbb{Q}}[x]$ nicht konstant,
$Q(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ ungleich $0$,
$R(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}(x,y)$.
Sei außerdem $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ so dass $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ teilerfremd sind.
Wenn die Vermutung von Schanuel wahr ist, ein $P_1(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ mit $P(x,y)=P_1(p(x),y)$ existiert und $R(E(z_0),e^{p(E(z_0))})=0$ für $p(E(z_0))\neq 0$, dann ist $z_0\notin\mathbb{L}$ und $z_0\notin\mathbb{E}$.

Die Vermutung ist Teil des Projekts
LinkZusammenarbeit für Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in geschlossener Form gesucht .

Vielen, vielen Dank.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14


Keine Antwort? Heißt das nun, dass sich keiner dafür interessiert, oder dass keiner einen Fehler gefunden hat?
Bitte, bitte meldet Euch! Das ist für Euch doch elementar.



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-14


Hallo IVMath,

deine Formulierung ist zwar aus meiner Sicht in Ordnung, aber ziemlich umständlich. Hier ein Vorschlag für eine etwas übersichtlichere Formulierung:

Es seien $E$ eine elementare Funktion und $P,Q \in \overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ teilerfremd, wobei $Q \neq 0$, $P \notin \overline{\mathbb{Q}}[x] \cup \overline{\mathbb{Q}}[y]$ und $P$ irreduzibel ist. Setze $R := \frac{P}{Q} \in \overline{\mathbb{Q}}(x,y)$.
Außerdem sei $p \in \overline{\mathbb{Q}}[x]$ nicht konstant und es existiere ein $P_1 \in \overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ mit $P(x,y)=P_1(p(x),y)$.
Angenommen, die Vermutung von Schanuel ist wahr. Dann gilt für jedes $z_0 \in \mathbb{C}$ mit $p(E(z_0)) \neq 0$ und $R(z_0,e^{p(E(z_0))})=0$, dass $z_0 \notin \mathbb{L}$ und $z_0 \notin{E}$.

Ich hoffe, ich habe jetzt keine Voraussetzung vergessen.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14


Vielen Dank für Deine Antwort.

"teilerfremd", "irreduzibel" - muss man da nicht immer auch mit aufschreiben, über welchem Körper? Oder ist das wenn nicht anders angegeben immer auf den zugrundeliegenden Konstantenkörper bezogen?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-14


Hallo,

das ist ein bisschen Geschmackssache. Bei "$P,Q \in \overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ teilerfremd" ist jedem klar, dass "teilerfremd in $\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$" gemeint ist. Bei der Irreduzibilität von $P$ schadet es sicher nicht, das dazuzuschreiben (wollte ich vorhin eigentlich auch, ich habs nur dann vergessen), ich würde da aber eher "irreduzibel in $\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$" als "irreduzibel über $\overline{\mathbb{Q}}$" schreiben - wobei das auch nicht falsch ist.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14


Ah ja. Alles klar. Vielen, vielen Dank.



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