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Universität/Hochschule J Diskrete Fouriertransformation Eigenschaften
Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-01


Guten Nachmittag, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. finde meinen Fehler seit einer Weile nicht.




Mein Ansatz dazu ist folgender:

$F_{n}(y)$ ist ja ein $n +1$ - dimensionaler Vektor, also $F_{n}(y) =  \left( \begin{array}{c} (F_{n}(y))_{0} \\\ \vdots \\\ (F_{n}(y))_{n}  \end{array}\right) $


Betrachten wir die $k$ -te Komponente. Es ist


$ (F_{n}(y))_{k} = \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} e^{- i j x_{k}} = \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} e^{- i j \frac{2 \pi k}{n + 1}} =  \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \frac{1}{\sqrt[n + 1]{e^{i j 2 \pi k}}} = \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \frac{1}{\sqrt[n + 1]{cos(j 2 \pi k) + i sin(j 2 \pi k)}} = \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j}$



Also ist $(F_{n}(y))_{k} = \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j}\quad \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}$


Damit haben wir  $F_{n}(y) =  \left( \begin{array}{c} \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \\\ \vdots \\\ \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j}\end{array}\right) $



Wenn wir die euklidische Norm bilden, erhalten wir:


$\vert \vert F_{n}(y) \vert \vert_{2} =  \left ( \left ( \frac{1}{n + 1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \right )^{2} + \ldots + \left ( \frac{1}{n + 1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \right )^{2}  \right )^{\frac{1}{2}} = \left ( (n + 1) \cdot \left ( \frac{1}{n + 1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} \right )^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$

$ = \sqrt{n + 1} \cdot \frac{1}{n + 1} \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j} =
 \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot  \sum\limits_{j = 0}^{n} y_{j}$


Aber das ist ja nicht das selbe wie $\vert \vert \frac{1}{\sqrt{n + 1}} y \vert \vert_{2}$



Hat da jemand einen Tipp für mich? Ist mein Weg überhaupt der richtige ?


Bedanke mich schon mal im Voraus.

mfg, Marie



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-02


2019-12-01 16:34 - Marie97 im Themenstart schreibt:
\[ \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j=0}^{n} y_j\, e^{-ij \frac{2\pi k}{n+1}}
= \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j=0}^{n} y_j\, \frac{1}{\sqrt[n+1]{e^{ij 2\pi k}}}
= \frac{1}{n +1} \sum\limits_{j=0}^{n} y_j\]

Ohne die Auflösung der Aufgabe zu kennen, möchte ich doch sehr bezweifeln, dass
\[ e^{-ij\frac{2\pi k}{n+1}} ~~=~~ e^{-\frac{jk}{n+1}\,2\pi i} ~~\stackrel{??}{=}~~ 1 \] ist, da ja \(\frac{jk}{n+1}\) nicht unbedingt ganzzahlig ist. Das Wurzelsymbol würde ich wegen seiner Mehrdeutigkeit tunlichst vermeiden.


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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