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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Extremstellenproblem
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Universität/Hochschule J Extremstellenproblem
hal9000
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-02 11:35


Hallo zusammen,

ich bearbeite aktuell die folgende Aufgabe und würde mich über etwas Unterstützung freuen.

Aufgabe: Bestimmen der lokalen Extremstellen der Funktion fed-Code einblenden

Ich beginne mit den partiellen Ableitungen 1. Ordnung:
(1) fed-Code einblenden
und
(2) fed-Code einblenden

Für die Extremwerte löse ich (1) nach y auf und erhalte fed-Code einblenden

Einsetzen in (2) ergibt fed-Code einblenden

Löse ich nach x auf erhalte ich fed-Code einblenden

Ich bin unsicher, wie es nun genau weitergehen muss. Mit dem richtigen x-Wert kann ich die y-Werte ermitteln und so die Extremwerte erhalten, richtig?
Prüfung ob min oder max dann über die 2. partielle Ableitung, dann Determinaten über Hesse Matrix?

Wäre sehr dankbar, wenn jemand meinen Gedankengang bestätigen bzw. mit mir durchgehen kann!

Besten Dank vorab!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-02 11:47

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo und herzlich willkommen hier auf dem Matheplanet!

Deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig, enthält jedoch Notationsfehler. Und das Ergebnis für x stimmt leider auch noch nicht.

2019-12-02 11:35 - hal9000 im Themenstart schreibt:
Ich beginne mit den partiellen Ableitungen 1. Ordnung:
(1) fed-Code einblenden
und
(2) fed-Code einblenden

Das passt bis hierher. Ich hätte hier aber gleich noch zu Beginn eine Frage: kann es sein, dass du vergessen hast, die Forderung \(c\neq 0\) mit anzugeben? Das wird nämlich noch eine Rolle spielen.

2019-12-02 11:35 - hal9000 im Themenstart schreibt:
Für die Extremwerte löse ich (1) nach y auf und erhalte fed-Code einblenden

Einsetzen in (2) ergibt fed-Code einblenden

Das ist formal insofern falsch, als (1) und (2) ja die partiellen Ableitungen sind. Die müssen ja zunächst gleich Null gesetzt werden (was du ja auch getan hast, aber man muss es hinschreiben).

2019-12-02 11:35 - hal9000 im Themenstart schreibt:
Löse ich nach x auf erhalte ich fed-Code einblenden

Nein, das passt nicht. Löst man beim vorderen Term die Klammer auf, bekommt man ja zunächst die Gleichung

\[\frac{27x^4}{c^2}-cx=0\]
Aus dem linken Term würde ich nun den Faktor \(\frac{x}{c^2}\) herausziehen und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.

2019-12-02 11:35 - hal9000 im Themenstart schreibt:
Ich bin unsicher, wie es nun genau weitergehen muss. Mit dem richtigen x-Wert kann ich die y-Werte ermitteln und so die Extremwerte erhalten, richtig?

Die passenden y-Werte bekommst du so, das ist richtig. Aber bisher sind das noch keine Extremstellen sondern nur sog. kritische Punkte, also Punkte, die Extremstellen sein könnten.

2019-12-02 11:35 - hal9000 im Themenstart schreibt:
Prüfung ob min oder max dann über die 2. partielle Ableitung, dann Determinaten über Hesse Matrix?

Du stellst die Hessematrix auf und überprüfst die Definitheit für die errechneten Punkte.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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hal9000
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02 13:44


Hallo Diophant,

danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!

Es ist tatsächlich fed-Code einblenden

Bezüglich der Notation werde ich mich bemühen sorgfältiger zu Arbeiten, danke für den Hinweis.

Ich versuche mich also nochmal am Auflösen nach x der Funktion
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

In der Hoffnung, dass die Werte stimmen, habe ich sie in (2) eingesetzt.

fed-Code einblenden

Für x = 0 ist fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Habe ich damit die richtigen Werte ermittelt um weiter zu machen?
Nochmals herzlichen Dank!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-02 15:00

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-12-02 13:44 - hal9000 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es ist tatsächlich fed-Code einblenden

Bezüglich der Notation werde ich mich bemühen sorgfältiger zu Arbeiten, danke für den Hinweis.

Ok, dann muss man das Vorzeichen von c ggf. noch berücksichtigen, wenn es um die Frage nach Existenz und Art von Extrema geht.

2019-12-02 13:44 - hal9000 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich versuche mich also nochmal am Auflösen nach x der Funktion
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

In der Hoffnung, dass die Werte stimmen, habe ich sie in (2) eingesetzt.

fed-Code einblenden

Für x = 0 ist fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Habe ich damit die richtigen Werte ermittelt um weiter zu machen?

Da ist dir zum Schluss ein Schnitzer unterlaufen, denn die Gleichung \(y^2=\frac{c^2}{9}\) besitzt die beiden Lösungen \(y_{1,2}=\pm\frac{c}{3}\). Insgesamt ergibt das drei kritische Punkte: \(\left(0,0\right),\left(\frac{c}{3},\frac{c}{3}\right)\) und \(\left(\frac{c}{3},-\frac{c}{3}\right)\).

EDIT: wie weird im nächsten Beitrag richtig ausgeführt hat, ist der dritte Punkt in der Liste (der mit den unterschiedlichen Vorzeichen) natürlich Unsinn. Es sind also \(\left(0,0\right)\) und \(\left(\frac{c}{3},\frac{c}{3}\right)\) die kritischen Punkte.

Mit denen musst du jetzt weiterarbeiten.

Man spricht von kritischen Punkten, meines Wissens aber nicht von kritischen Koordinaten.  wink


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5016
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-02 15:24

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-12-02 15:00 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Insgesamt ergibt das drei kritische Punkte: \(\left(0,0\right),\left(\frac{c}{3},\frac{c}{3}\right)\) und \(\left(\frac{c}{3},-\frac{c}{3}\right)\).
Gruß, Diophant

Ich hab hier nicht alles durchgelesen, aber es kommt mir sehr komisch vor, dass das Gleichungssystem $f_x=f_y=0$ invariant gegenüber einer Vertauschung von $x$ und $y$ ist, die Lösungsgesamtheit ist es aber nicht. Das kann einfach nicht stimmen.  eek
\(\endgroup\)


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-02 15:43

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo weird,

2019-12-02 15:24 - weird in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich hab hier nicht alles durchgelesen, aber es kommt mir sehr komisch vor, dass das Gleichungssystem $f_x=f_y=0$ invariant gegenüber einer Vertauschung von $x$ und $y$ ist, die Lösungsgesamtheit ist es aber nicht. Das kann einfach nicht stimmen.  eek

Du hast natürlich recht. Ich habe da nur an die quadratische Gleichung gedacht, aber keinen Schritt weiter: das Gleichungssystem \(\nabla f=0\) lässt hier (unabhängig vom Vorzeichen von c) die jeweils negative Lösung für die Variablen nicht zu (da man sonst die Summe zweier Quadrate gleich Null setzen würde).

Also sind die kritischen Punkte \(\left(0,0\right)\) und \(\left(\frac{c}{3},\frac{c}{3}\right)\).

Danke fürs Aufpassen.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hal9000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03 06:48


Guten Morgen zusammen,

danke für eure Nachrichten. Nachdem die kritischen Punkte ermittelt sind, habe ich zur Prüfung der Definitheit die Hesse Matrix der beiden Punkte aufgestellt:

fed-Code einblenden



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-03 09:24

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

deine Hessematrix ist nicht ganz korrekt (wobei der Fehler auf die weitere Rechnung hier keinen Einfluss hat). Dir ist beim weiteren Ableiten bei den partiellen Ableitungen \(f_{xx}\) und \(f_{yy}\) jeweils der Faktor \(2\) verlorengegangen, so dass die Hessematrix so ausschaut:

\[H_f(x,y)=\bpm 6x&-c\\-c&6y\epm\]
Deine Aussagen über die Definitheit sind auch noch nicht ganz richtig. Während ich dir hiermit:

2019-12-03 06:48 - hal9000 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde sagen, der erste Punkt ist dadurch indefinit...

soweit recht gebe, dass die Hesse-Matrix an der Stelle \((0,0)\) indefinit ist, ist deine Aussage zum zweiten Punkt meiner Meinung nach falsch.

Am einfachsten sieht man es ein, wenn man über die Eigenwerte geht: hier ist eine Fallunterscheidung notwendig, je nachdem, welches Vorzeichen c besitzt wird die Hessematrix positiv oder negativ definit sein.

Für solche Rückfragen wäre es hilfreich, stets den gesamten Rechenweg mit anzugeben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5016
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-03 09:43


@hal9000

Ich hab mir jetzt auch mal den ersten Teil deiner Rechnung angesehen und statt eines Kommentars zeige ich dir einfach nur mal, wie man das richtig machen würde:

\[f_x-f_y=(3x^2-cy)-(3y^2-cx)=(x-y)(3(x+y)+c)=0\Rightarrow y=x \lor x+y=-\frac c3\]
1. Fall: $y=x$

\[f_x=f_y=3x^2-cx=x(3x-c)=0\Rightarrow x=y=0\lor x=y=\frac c3\]
$(x,y)=(0,0)$ ist natürlich kein Extremum, wie man so sofort sieht:
\[\varepsilon>0\Rightarrow f(\varepsilon,0)=\varepsilon^3>0=f(0,0) \quad \land\quad f(-\varepsilon,0)=-\varepsilon^3<0=f(0,0)\]
Für $(x,y)=(\frac c3,\frac c3)$ braucht man tatsächlich die Hessematrix. Dazu muss man allerdings die Ableitungen $f_{xx},f_{xy}=f_{yx},f_{yy}$ richtig bilden können und zwar für einfache Polynomfunktionen(!). Leider scheitert es aber bei dir gerade daran!  frown

2. Fall: $x+y=-\frac c3$.

Dieser führt aber wegen $c\ne 0$ und
\[f_x+f_y=3(x^2+y^2)-c(x+y)=3(x^2+y^2)+\frac{c^2}3>0\] sofort auf einen Widerspruch und braucht daher nicht weiter betrachtet zu werden!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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hal9000
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03 15:21


Wie immer besten Dank für eure Zeit!

Der Fehler bei den Ableitungen ist äußerst nachlässig gewesen, sehr ärgerlich.
Danke für deine Mühe, das Vorgehen nochmal komplett darzustellen, allerdings kann ich dir leider nicht komplett folgen, Weir. Wie du sicher bemerkt hast, bin ich kein Profi wie du offensichtlich einer bist.

Ich habe mich weiter mit dem Thema beschäftigt und möchte trotzdem meinen weiteren Ansatz darstellen.

fed-Code einblenden










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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-03 16:25

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

da sind weiterhin einige Rechenfehler und eine eklatante Wissenslücke:

2019-12-03 15:21 - hal9000 in Beitrag No. 9 schreibt:
2019-12-03 09:43 - weird in Beitrag No. 8 schreibt:
@hal9000

Ich hab mir jetzt auch mal den ersten Teil deiner Rechnung angesehen und statt eines Kommentars zeige ich dir einfach nur mal, wie man das richtig machen würde:...

Danke für deine Mühe, das Vorgehen nochmal komplett darzustellen, allerdings kann ich dir leider nicht komplett folgen, Weir. Wie du sicher bemerkt hast, bin ich kein Profi wie du offensichtlich einer bist.

Zugegeben, die Rechnung von weird ist ziemlich gekonnt bis virtuos, oder besser gesagt: stringent und zielgerichtet. Das lernt man nicht von jetzt auf nachher. Versuche dennoch, dir weird's Vorgehensweise klarzumachen, besonders die Stellen, wo unnötig schematische Rechnerei durch einen eleganteren Weg ersetzt wird.

2019-12-03 15:21 - hal9000 in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich habe mich weiter mit dem Thema beschäftigt und möchte trotzdem meinen weiteren Ansatz darstellen.

fed-Code einblenden

Richtig. Nur zur Sicherheit: um was für eine Art charakteristischen Punkt handelt es sich dann?

2019-12-03 15:21 - hal9000 in Beitrag No. 9 schreibt:
fed-Code einblenden

Ok, du arbeitest mit den Hauptminoren (das hatte ich weiter oben mal gefragt  wink ). Aber jetzt zu deiner Wissenslücke: Analog zur allseits bekannten Tatsache, dass bei einer eindimensionalen Funktion \(f'(x_0)=0\wedge f''(x_0)>0\) eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum ist, so ist es hier genauso: ist die Hessematrix positiv definit liegt ein lokales Minimum vor und umgekehrt.

2019-12-03 15:21 - hal9000 in Beitrag No. 9 schreibt:
fed-Code einblenden

Hier gehst du nun komplett falsch vor, denn die Hessematrix muss genauso aussehen wie oben. Bilde wieder die beiden Hauptminoren und beachte, wie die Vorzeichen der Hauptminoren im negativ definiten Fall beschaffen sein müssen (und bedenke natürlich bei dem ganzen, dass c jetzt negativ ist).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hal9000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03 20:54


Ein weiterer Anlauf...ehrlich, ich bewundere dich für deine Geduld mit mir :)

Das lokale Minimum für c > 0 habe ich nachvollzogen und verstanden.

Nun für c < 0 :

fed-Code einblenden



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-03 21:18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

recherchiere einmal die Stichwörter 'Definitheit' und 'Hauptminoren'.

Bei negativ definite Matrizen alternieren die Vorzeichen der Hauptminoren, angefangen mit \(M_1<0\).

Auch ich habe recherchiert: deine Vorgehensweise, die Definitheit von -H zu betrachten war entgegen meiner Einschätzung in Beitrag #10 ebenfalls korrekt.

Somit ist die Hessematrix im Punkt (c/3,c/3) für negative c negativ definit und für diesen Fall haben wir hier ein lokales Maximum.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hal9000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05 15:02


Hallo!
Danke nochmals euch beiden, die Diskussion hat mich schonmal weitergebracht!



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