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Universität/Hochschule Gruppenhomomorphismen zyklischer Gruppen
Donauschwabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-04


Guten Abend,

ich möchte/soll alle Gruppenhomomorphismen \(\IZ/12\IZ\to \IZ/27\IZ\) bestimmen.

Drei fielen mir schnell ein:

\(\phi_1:\ g\mapsto g\)
\(\phi_2:\ g\mapsto g^3\)
\(\phi_3:\ g\mapsto e\)



Danke für jede Hilfe  :-)



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-04

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2019-12-04 22:04 - Donauschwabe im Themenstart schreibt:
Guten Abend,

ich möchte/soll alle Gruppenhomomorphismen \(\IZ/12\IZ\to \IZ/27\IZ\) bestimmen.

Drei fielen mir schnell ein:

\(\phi_1:\ g\mapsto g\)
\(\phi_2:\ g\mapsto g^3\)
\(\phi_3:\ g\mapsto e\)



Danke für jede Hilfe  :-)
Hi Donauschwabe.
Ich würde die Homomorphismen hier additiv schreiben, da die Gruppen additiv sind.

Die Abbildung $g\mapsto g$ ist kein Homomorphismus.
EDIT: $g\mapsto g^3$ ist auch kein Homomorphismus.

Die Homomorphismen $\Z/{12}\to \Z/{27}$ entsprechen $1-1$ den Homomorphismen $\Z\to \Z/{27}$ die $12$ auf $0$ schicken.

Das ist genau die Aussage des Homomorphiesatzes.

Diese entprechen $1-1$ den Elementen $z\in \Z/{27}$ mit $12z=0$.
Das liegt daran, dass sich die Gruppe $\Z$ durch ein Element erzeugen lässt. Folglich ist ein Homomorphismus auf $\Z$ schon durch das Bild auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt. Für Details empfehle ich dir den Artikel den ich unter "PS" angefügt habe.

Unter dieser Bijektion entspricht ein Element $z\in \Z/{27}$ mit $12z=0$ dem Homomorphismus der durch $1\mapsto z$ eindeutig festgelegt ist.*
Ein Element $x\in \Z/{27}$ ist $=0$ genau dann, wenn $27\mid x$ gilt.



XST
PS: Schau mal  hier rein.
* Ich habe hier als Erzeuger von $\Z$ die $1$ genommen. $-1$ hätte es ber auch getan.



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Donauschwabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-04


Danke. Ich melde mich morgen Abend nochmals



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HellsKitchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-05


Hi

Bei einem Gruppen-Homomorphismus f: \(G \mapsto H\) gilt für die Ordnung von \(x \in G\):
ord(f(x)) teilt ord(x).
In \(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\) haben alle Elemente eine 3-er Potenz als Ordnung.
In \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) haben alle Elemente der 4-er Untergruppe <3> eine zweier Potenz als Ordnung.
Die Gruppe <3> muss deshalb im Kern f liegen. Man kann von Kern f = <3> ausgehen.
Dann ist G\Kern f isomorph zur einzigen 3-er Gruppe in \(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\) nämlich <9> \(9\in \mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\).
Die Isomorphien einer 3-er Gruppe sind: \(x \mapsto x\) und \(x \mapsto -x\).
Insgesamt kommt man auf 3 mögliche Homomorphismen, deren Existenz auch gezeigt ist.
Man kann diese auch durch Einzelelemente darstellen:
\(1 \mapsto 0\), \(1 \mapsto ?\), \(1 \mapsto ?\)

Gruss HellsKitchen



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