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Funktionentheorie » Integration » Was ist eine beschränkte Komponente mit verschwindender Umlaufzahl ?
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Universität/Hochschule J Was ist eine beschränkte Komponente mit verschwindender Umlaufzahl ?
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-05


Es geht mir hier um Funktionentheorie. Was genau sollen denn geschlossene Wege sein, die eine beschränkte Komponente im Komplement der Kurve mit verschwindender Umlaufzahl besitzen ?

Ich hab das so verstanden, dass das eben ein geschlossener Weg ist, der eine beschränkte zusammenhängende Teilmenge vom Komplement der Kurve besitzt, in der jeder Punkt die Umlaufzahl 0 hat.




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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-05


Hey Pter87,

ohne den Kontext zu kennen, würde ich dir zustimmen. Wenn wir uns etwa den Einheitskreis im \(\mathbb{R}^2\) anschauen, dann teilt der Einheitskreis den \(\mathbb{R}^2\) ja in zwei (Zusammenhangs-)Komponenten, von der eine beschränkt ist. Jeder Punkt im inneren des Kreises hat in diesem Beispiel jetzt natürlich die Umlaufzahl 1 (oder -1, je nachdem in welche Richtung man den Kreis durchläuft), aber ich meine mich zu erinnern, dass mein Prof damals mal eine Kurve angemalt hat, bei der Punkte im "Inneren" der Kurve liegen, die die Umlaufzahl \(0\) haben.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-06


Hallo Pter87,

um ein Beispiel für eine dieser von Kampfpudel erwähnten Kurven zu nennen: Stell dir zwei einander überlappende Kreise vor, von denen einer im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, und der andere entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine „Kurve“, welche diese beiden Kreise durchläuft, hat um jeden Punkt, der im Überlappungsbereich liegt, Umlaufzahl 0. Natürlich ist das keine echte Kurve, weil sie nicht stetig parametrisiert werden kann. Das lässt sich umgehen, indem man die Kreise aufschneidet und miteinander verbindet. Die Umlaufzahl ändert sich dadurch nicht.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos



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