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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenzradius
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Universität/Hochschule Konvergenzradius
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-05


Hallo, komme bei folgender Aufgabe in der Funktionentheorie nicht weiter:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der reellen Taylorreihe von f im Punkt 0 für

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-2x^2+2x^3}{(1+x^2)(1+4x^4)} \)

Wir sollen den Potenzreihenentwicklungssatz benutzen, ohne die Tayorreihe zu berechnen.

Der Potenzreihenentwicklungssatz lautet bei uns so:
Sei \( \Omega \) eine offene Teilmenge in \( \mathbb{C} \) und \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph. Dann ist f analytisch und für \( z_0 \in \Omega \) gilt: Der Konvergenzradius der Taylorreihe von f in \( z_0 \) beträgt mindestens
\( r := sup\{ \rho > 0 | B_{\rho} (z_0) \subset \Omega \} \)

Mein Ansatz:
Ich habe bis jetzt angenommen f sei eine Funktion von \( \mathbb{C} \) nach \( \mathbb{C} \). Und hat somit die Singularitäten \( z_1 = -i, z_2 = +i, z_3 = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i, z_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \). Die Abstände sind \( d(z_0,z_1) = d(z_0,z_2) = 1 \) und \( d(z_0,z_3) = d(z_0,z_4) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Also ist der Konvergenzradius mindestens r = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Es bleibt also noch zu zeigen, dass der Konvergenzradius genau \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) ist (Bzw. ist er das überhaupt??) und dass ich überhaupt die Betrachtung von f von \( \mathbb{C} \) nach \( \mathbb{C} \) machen darf.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße kuckuck3



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, kuckuck3,

was wäre denn, wenn der Konvergenzradius größer wäre? Dann würde die Reihe bei \(\D\frac{1}{\sqrt{2}}i\) konvergieren. Kann das sein?

Wally
\(\endgroup\)


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


Hallo Wally, ich glaube ich verstehe was du meinst.

Aber kann es sein, dass du \( \frac{\sqrt i}{\sqrt 2} \) meinst. Da f ja nur dafür divergieren würde, was im Widerspruch zum Konvergenzradius größer als \( \frac{1}{\sqrt 2} \) steht.

kuckuck3



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-05


Ja, stimmt.

Wenn du \displaystyle vor dem Bruch schreibst, wird der größer dargestellt und ich kann das besser lesen.

Wally



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


Ok Danke schon mal.

Das hab ich nicht gewusst, werde ich aber in Zukunft machen.

Aber wieso darf ich einfach so eine komlexwertige Funktion betrachten, wenn f ja eine reellwertige Funktion ist?

kuckuck3



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Irgendwo hast du bestimmt so einen Satz wie:

Konvergiert eine Reihe mit Entwicklungspunkt \(z_0\) in \(z_1\), dann konvergiert sie mindestens innerhalb des Keises  mit Radius \(|z_0-z_1|\) um \(z_0\).

Darum kann der reelle Konverganzradius nicht größer als der komplexe sein.

Wally
\(\endgroup\)


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