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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Defekt-Ungleichung Komposition
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Universität/Hochschule J Defekt-Ungleichung Komposition
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-06


Hallo Leute,

sitze seit 2 Stunden an folgender Aufgabe fest:

Sei $K$ ein Körper und $f: U \to V$ und $g: V \to W$ lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen K-Vektorräumen.

Zeigen Sie die Ungleichung: $dim(ker(g \circ f)) \leq dim(ker(g)) + dim(ker (f))$.


Ich habe schon folgende Schritte geschafft:

$$dim(ker(g \circ f)) = dim(U) - dim(im(g \circ f)) = dim(ker(f)) + dim(im(f)) - dim(im(g \circ f)) \leq dim(V) - dim(im(g \circ f)) + dim(ker(f)) = dim(im(g)) + dim(ker(g)) - dim(im(g \circ f)) + dim(ker(f))$$
Ab hier komme ich nicht mehr weiter sodass da nurnoch $dim(ker(g)) + dim(ker(f))$ steht. Für kleine Tipps oder Verbesserungen wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße,
Shurian



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-06


Es gilt $\ker(f) \subseteq \ker(g f)$. Es liegt also nahe, den Quotientenraum $\ker(gf) / \ker(f)$ zu betrachten. Findest du eine injektive lineare Abbildung $ \ker(gf) / \ker(f) \to \ker(g)$? Dann wärst du nämlich fertig.

PS: Dieser Beweis funktioniert dann sogar ohne Endlichkeitsannahmen.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-06

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Hallo Shurian,

du musst im Prinzip nur noch zeigen, dass $\dim(\im(g))-\dim(\im(g\circ f))\geq0$, was widerum äquivalent zu $\dim(\im(g))\geq\dim(\im(g\circ f))$ ist. Das solltest du relativ einfach zeigen können.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06

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2019-12-06 13:59 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:

du musst im Prinzip nur noch zeigen, dass $\dim(\im(g))-\dim(\im(g\circ f))\geq0$, was widerum äquivalent zu $\dim(\im(g))\geq\dim(\im(g\circ f))$ ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Das hab ich auf einem meiner letzten Zettel bei einer ähnlichen Aufgabe schon gezeigt. Allerdings erschließt sich mir daraus nicht die Gültigkeit der Gesamtaussge, weil der Term der da steht ist doch ein anderer (größer) als der den ich eigentlich zeigen will?

Viele Grüße,
Shurian
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-06


Stimmt, ich hatte die Ungleichung falschrum gelesen. Mein Fehler.



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


@Vercassi Macht nichts, trotzdem danke für deine Mühe!

2019-12-06 13:59 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
 Findest du eine injektive lineare Abbildung $ \ker(gf) / \ker(f) \to \ker(g)$? Dann wärst du nämlich fertig.


Wieso wäre ich dann fertig? Das verstehe ich nicht so ganz.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-06


Wenn eine injektive lineare Abbildung $V \to V'$ existiert, gilt $\dim(V) \leq \dim(V')$. Denn $V$ ist ja dann isomorph zu einem Teilraum von $V'$.

Grundsätzlich habe ich dir nur grob geschrieben, wie man die Aufgabe lösen kann. Versuche, dir den Rest selbst zu überlegen. Nimm dir etwas Zeit dafür.



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


Stimmt, danke für den Hinweis.

Müsste ich dann aber nicht eine injektiv lineare Abbildung im($g$)$/$im($g$ $\circ$ $f$) $\to$ im($f$) finden, denn ich will ja den Term $dim(im(g)) - dim(im(g \ circ f))$ weghaben.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-06


Genauer gesagt kann man hier auch Quotientenräume umgehen.

Finde einfach eine lineare Abbildung $h : \ker(gf) \to \ker(g)$ mit $\ker(h) = \ker(f)$. Es folgt dann die Behauptung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-06


2019-12-06 14:21 - Shurian in Beitrag No. 7 schreibt:
Stimmt, danke für den Hinweis.

Müsste ich dann aber nicht eine injektiv lineare Abbildung im($g$)$/$im($g$ $\circ$ $f$) $\to$ $im(f)$ finden, denn ich will ja den Term $dim(im(g)) - dim(im(g \ circ f))$ weghaben.

Nein. Ich bezog mich auf die Aufgabenstellung, nicht auf den Ansatz mit den Dimensionen der Bildern. Denn man kann direkt mit den Kernen arbeiten.



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Shurian
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2019-12-06 14:21 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
Genauer gesagt kann man hier auch Quotientenräume umgehen.

Finde einfach eine lineare Abbildung $h : \ker(gf) \to \ker(g)$ mit $\ker(h) = \ker(f)$. Es folgt dann die Behauptung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Ok, vielen Dank für die Hilfe!  😄

Viele Grüße,
Shurian



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