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Universität/Hochschule Resolvente analytisch
Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo,

wie zeigt man, dass jeder Eintrag der Resolventen einer komplexen Matrix überall bis auf bei den Eigenwerten analytisch ist.

Definiert ist sie ja für eine Matrix $A$ durch $R(z)=(zI-A)^{-1}$



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


Hallo Nito1389,

Benutze die geometrische Reihe.

Wally



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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Hallo Wally,
Danke für die Antwort!
Das ist dann für die Analytizität wenn $z$ kein Eigenwert ist, oder?. Aber was ist wenn $z$ ein Eigenwert ist? Ich dachte da gäbe es dann ja gar keine Inverse...



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

du bekommst natürlich nicht, dass das eine ganze Funktion ist, sonder "nur" lokale Potenzreihenentwicklungen.

Als einfachsten Fall nimm mal an, dass \(A\) invertierbar ist, also \(0\) kein Eigenwert.

Dann ist  \((zI-A)^{-1}=(zAA^{-1}-A)^{-1}=-A^{-1}(I-zA^{-1})^{-1}=\cdots\)

Jetzt du:)

Wally
\(\endgroup\)


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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Hmm, wo kann man jetzt die geometrische Reihe anwenden?
Ich hatte die Umformung vorher so: Wenn A invertierbar ist, gibt es eine Diagonalmatrix (mit den Eigenwerten) $D$ und eine Matrix aus linear unabhängigen Eigenvektoren $V$, so dass $R(z)=(zI-A)^{-1}=V(zI-D)^{-1}V^{-1}$. Innerhalb der Matrix $D$ hat man dann ja die Einträge $\frac{1}{z-\lambda}$, wobei $\lambda$ dann immer ein Eigenwert ist.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 19:54 - Nito1398 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn A invertierbar ist, gibt es eine Diagonalmatrix (mit den Eigenwerten) $D$ und eine Matrix aus linear unabhängigen Eigenvektoren $V$ ...

Warum sollte $A$ diagonalisierbar sein?



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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Okay, ich hab mich vertan. Das folgt natürlich nicht aus der Invertierbarkeit. Ich frage mich nur, warum ich vorher diese Umformung zeigen sollte und dachte, dass man sie dort anwenden kann...

Aber hier

2019-12-07 09:52 - Wally in Beitrag No. 3 schreibt:

\((zI-A)^{-1}=(zAA^{-1}-A)^{-1}=-A^{-1}(I-zA^{-1})^{-1}=\cdots\)


Wally

weiß ich trotzdem nicht weiter. Und ich weiß gar nicht, wie die geometrische Reihe da reinspielt.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

dann beguck zuerst mal den Fall einer 1x1-Matrix bzw. Zahl \(A=a\).

Dann ist \(A^{-1}\) einfach der Kehrwert und wieder eine Zahl \(1/a\).

Und \((I-zA^{-1})^{-1}=\frac{1}{1-1/a}\).

Na?

Wally
\(\endgroup\)


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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Wenn $a>1$ ist, konvergiert
Dann ist
2019-12-07 09:52 - Wally in Beitrag No. 3 schreibt:

Dann ist  \((zI-A)^{-1}=(zAA^{-1}-A)^{-1}=-A^{-1}(I-zA^{-1})^{-1}=\cdots\)


$=\frac{1}{a} \frac{1}{1-\frac{1}{a}}=\sum_{k=0}^{\infty}-\frac{1}{a}(\frac{1}{a}-0) ^k$
Also für $a>1$ analytisch in $0$.

Aber was ich nicht ganz verstehe ist, was mit dem $z$ hier passiert ist:
2019-12-07 21:01 - Wally in Beitrag No. 7 schreibt:

Und \((I-zA^{-1})^{-1}=\frac{1}{1-1/a}\).



Eigentlich würde ich denken, dass vor dem $\frac{1}{a}$ rechts auch noch ein $z$ stehen muss. Und ich frage mich, wo wir $0$ eingesetzt haben, also wo reinspielt, welchen Grenzwert wir betrachten.

Und muss ich jetzt bei einer Matrix für jeden Eintrag zeigen, dass er analytisch ist oder wie übertrage ich das auf eine gesamte Matrix?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Sorry, statt <math>1/a</math> sollte da <math>z/a</math> stehen. Dann wird es auch eine Potenzreihe.

Wally
\(\endgroup\)


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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Okay. Also
$=\frac{1}{a} \frac{1}{1-\frac{z}{a}}=\sum_{k=0}^{\infty}-\frac{1}{a}(\frac{z}{a}-0) ^k= \sum_{k=0}^{\infty}-\frac{1}{a^{k+1}}{z} ^k$

Was muss ich jetzt machen, um Werte zu betrachten, die ungleich $0$ sind?

Und wie übertrage ich das auf eine gesamte Matrix?



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