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Mathematik » Geometrie » Vektorprodukt axb=bxc=cxa => a+b+c=0
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Universität/Hochschule J Vektorprodukt axb=bxc=cxa => a+b+c=0
hwi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo liebe Mathefreunde,
ich möchte gern zeigen, dann für drei Vektoren \(\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\,\in\,\mathbb{R}^3\) mit \(\vec{a}\times\vec{b}\neq0\) und
\[\vec{a}\times\vec{b}=\vec{b}\times\vec{c}=\vec{c}\times\vec{a}.\] gelten muss
\[\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0.\]
Ich hab versucht zu argumentieren, dass mit \(\vec{a}\times\vec{a}=0\) gilt
\[\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{a},\] dann mit \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{a}\), der Antikummutativität des Vektorprodukts und dem Distributivgesetz
\[\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{a}-\vec{a}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{c}-\vec{a}\times\vec{a}=\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a}).\] Würde jetzt aus \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})\) folgen, dass \(\vec{b}=-\vec{c}-\vec{a},\) wär ich fertig. Aber diese Schlussfolgerung wäre meines Wissens nicht korrekt sondern es gilt nur \(\vec{b}=d(-\vec{c}-\vec{a})\) mit \(d\in\mathbb{R}\). Dann müsste ich irgendwie zeigen, dass \(d=1\) ist aber ich hab keine Idee wie.      

Hat jemand einen Tipp für mich oder kennt einen einfacheren Ansatz für die Aufgabe?

Beste Grüße & Vielen Dank,
hwi





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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


Hallo, wir betrachten die lineare Abbildung
\[L(\vec d):=(\vec a+\vec b +\vec c)\times \vec d,\] so gilt
\[\begin{align*}
L(\vec a)&=\vec a\times \vec a+ \vec b\times \vec a+\vec c\times \vec a\\
&=\vec 0- \vec a\times \vec b+\vec c\times \vec a\\
&=\vec 0- \vec a\times \vec b+\vec a\times \vec b\\
&=\vec 0.
\end{align*}
\] Es gilt auch $L(\vec b)=L(\vec c)=\vec 0$. Somit ist $\text{ker}(L)\supset \langle a,b,c\rangle$.





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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-07


Hallo hwi,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Das sieht doch ganz gut aus!

Addiere auf \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})\) die rechte Seute und klammer dann a aus.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 14:23 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Somit ist $\text{ker}(L)\subset \langle a,b,c\rangle$.

Aus deiner Überlegung folgt $\text{ker}(L)\supset \langle a,b,c\rangle$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-07


Du hast recht, sorry. Ich ändere es.



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hwi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Ich hab jetzt glaube ich die Lösung:

Ausgehend von dem Tipp von StrgAltEntf:

\[\begin{align*}
& \vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})\\
&\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})=\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})+\vec{a}\times(-\vec{c}-\vec{a})\\
&\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}-\vec{a}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{c}-\vec{a}\times\vec{a}-\vec{a}\times\vec{c}-\vec{a}\times\vec{a}\\
&\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}-\vec{a}\times\vec{a}+2\vec{a}\times\vec{c}=\vec{0}\\
&\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}+\vec{a}\times\vec{a}=\vec{a} \times (\vec a+\vec b +\vec c)= \vec{0}.
\end{align*}\] Das Ergebnis ist also das, welches auch ochen deutlich übersichtlicher gezeigt hat.

Jetzt muss aber noch ausgeschlossen werden, dass \(\vec a\) und \((\vec a+\vec b +\vec c)\) kolinear sind, denn auch dann wär \(\vec{a} \times (\vec a+\vec b +\vec c)= \vec{0}\) ohne, dass gelten muss \( \vec a+\vec b +\vec c = \vec{0}\). Da man aber, z.b. analog zu der rechnung von ochen, zeigen kann, dass auch \(\vec{b} \times (\vec a+\vec b +\vec c)= \vec{0}\) gilt, können \(\vec a\) und \((\vec a+\vec b +\vec c)\) vermutlich nicht seien kolinear. (Glaube ich zumindest aufgrund einer Zeichnung.)

Damit bleibt dann nur noch \( \vec a+\vec b +\vec c = \vec{0}\).    

Beste Grüße,
hwi



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-07


Hallo nochmal. Wären $\vec a$ und $\vec b$ kollinear, würde $\vec a\times \vec b=\vec 0$ gelten. Das wurde aber ausgeschlossen. Wären $\vec b$ und $\vec c$ kollinear, würde $\vec b\times \vec c=\vec 0$ gelten, was aber durch $\vec b\times \vec c=\vec a\times \vec b\neq \vec 0$ ebenfalls ausgeschlossen ist.

Die Forderung $\vec a\times \vec b\neq \vec 0$ ist wichtig und muss auf jeden Fall verwendet werden, da wir sonst $\vec a=\vec b=\vec c=(1,0,0)^t$ wählen könnten.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-07


Sorry, ich meinte "subtrahiere die rechte Seite", dann steht es noch schneller da.

Oder noch einfacher (ich lasse mal die Pfeile weg):
\(a\times(a+b+c)=a\times a+a\times b+a\times c = 0 +a\times b-c\times a=0\)

Zur Kollinearität (übrigens mit zwei L):
Analog folgt \(b\times(a+b+c)=0\). Wäre \(a+b+c\neq0\), dann wäre \(a+b+c\) ein Vielfaches von sowohl a als auch b. Also sind a und b selbst Vielfache voneinander, was aber wegen \(a\times b\neq 0\) ausgeschlossen ist.

Ob das eleganter geht, weiß ich jetzt nicht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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hwi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Okay, die beiden Antworten ergeben Sinn für mich. Nochmal vielen Dank an euch!



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