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Analysis » Funktionalanalysis » Operatornorm
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Universität/Hochschule Operatornorm
Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Eine Frage aus dem Bereich der Funktionalanalysis:

Für 1<p<unendlich und h aus L_q(D) sei
t_h: L_p(D) -> R , t_h(f) = Integral über D von (f(x)*h(x))

Ich soll nun zeigen dass die q-Norm von h mit der operatornorm von t_h übereinstimmt.

Für die Hinrichtung habe ich Hölder verwendet:
|t_h(f)| <= ||f||_p * ||h||_q
Für die Operator Norm haben wir ||f||_p = 1 und damit folgt die Hinrichtung „<=“

Kennt sich jemand mit dem Thema aus und kann mir bei der Rückrichtung helfen?



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


Hallo Kingtom2,

wähle $f$ sodass $f\cdot h = |h|^q$ gilt und berechne $t_h(f)$.



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Es reicht also für konkretes f zu finden?
Könntest du mir eine Funktion nennen? Würde mir wirklich weiterhelfen



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 17:42 - Kingtom2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es reicht also für konkretes f zu finden?  

Wenn du ein $f\in L^p(D)$ findest mit $|t_h(f)| = \|f\|_p \|h\|_q$ dann folgt $\|t_h\| \geq \|h\|_q$. Dass auch $\|t_h\| \leq \|h\|_q$ gilt, hast du dir ja bereits überlegt.


Könntest du mir eine Funktion nennen? Würde mir wirklich weiterhelfen

Löse die Gleichung einfach nach $f$ auf  😉  Also $f(x) = \frac{|h(x)|^{q}}{h(x)}$ für $x\in D$ mit $h(x) \neq 0$ und $f(x) = 0$ für $x \in D$ mit $h(x) = 0$. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass $f\in L^p(D)$ und $t_h(f) = \|f\|_p \|h\|_q$ (denke daran, dass $1/p + 1/q = 1$).



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Danke für die ausführliche Antwort.
Ich verstehe bloß nicht ganz wie du auf die Gleichung f*h = |h|^q kommst
Man hat doch bei der q-Norm noch ein 1/q im Exponenten des Integrals oder verwechsle ich da etwas?



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 19:17 - Kingtom2 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich verstehe bloß nicht ganz wie du auf die Gleichung f*h = |h|^q kommst

Es ist von vornherein auch nicht klar, dass dieses $f$ zum Erfolg führt, man rechnet es dann nach  😄 Wie man darauf kommen kann, dass diese Wahl von $f$ sinnvoll sein könnte: Für $p = q = 2$ ist $t_h(f)$ einfach das $L^2$-Skalarprodukt von $f$ und $h$ (zumindest im reellen $L^2$) was bei festem $\|f\|$ genau dann maximal wird, wenn $f$ ein skalares Vielfaches von $h$ ist. Für allgemeines $p$ könnte man also auch versuchen $f\cdot h = |h|^q$ zu erreichen.


Man hat doch bei der q-Norm noch ein 1/q im Exponenten des Integrals oder verwechsle ich da etwas?

Das stimmt natürlich, es ist auch $t_h(f) = \|h\|_q^q$. Das heißt, dass du noch $\|h\|_q^q = \|f\|_p \|h\|_q$ zeigen musst.



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Kingtom2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Ich glaube ich habe jetzt alles verstanden. Ich werd das jetzt nochmal durchrechnen.
Danke auf jeden Fall für die Hilfe :)



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