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Analysis » Integration » Integration durch Substitution
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Universität/Hochschule J Integration durch Substitution
Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-09


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Substitution. In einem Skript wird in Bezug auf eine Wahrscheinlichkeitsdichte \(f_X(x)\) einer Zufallsvariable \(X\) ein Integral wie folgt gelöst:
\(\int_{0}^{\sqrt y} f_X(x)dx=\int_{0}^{y} f_X(\sqrt t)\cdot \frac{1}{2\sqrt t}dt\). Hierbei steht als Kommentar, dass die Substitution \(x=\sqrt t\) und \(dx=\frac{1}{2\sqrt t}dt\) verwendet wird.

Ich dachte eigentlich, dass ich Integration durch Substitution inzwischen verstanden habe, aber irgendwie sehe ich nicht so wirklich, wie hier die Regel angewendet wurde.

Ich hoffe, dass mir bei meinem Verständnisproblem jemand helfen kann.

Viele Grüße
Webee



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09


Hallo  

Was genau verstehst du nicht?

Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

da wurde einfach die Gleichung \(x=\sqrt{t}\) nach t abgeleitet und diese Ableitung noch nach dem Differential dx umgestellt.

Und natürlich die obere Grenze des Integrals der Substitution angepasst.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Hallo,

zunächst vielen Dank für eure Antworten. Leider sehe ich immer noch nicht so genau, wie hier die Substitution angewendet wurde. So wie ich das verstehe, wird \(t=x^2\) substituiert, d.h. wenn man \(t\) als Funktion auffasst, dann ist \(t(x)=x^2\). Dementsprechend ist dann \(t'(x)=2x=\frac{dt}{dx}\) und damit \(dx=\frac{1}{2x}dt\). Das ist aber nicht das, was da steht. Generell frage ich mich, wie genau da die obere Grenze mit den angegebenen Werten angepasst wurde.

Ich hoffe, ich habe keine falschen Überlegungen gemacht.

Viele Grüße
Webee



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

es ist genau andersherum: es wird \(x=\sqrt{t}\) subtituiert und dann nach \(t\) abgeleitet. Diesen Fall hat man manchmal: die unabhängige Variable wird durch einen komplizierteren Term ersetzt anstatt andersherum wie gewohnt.

Das kennt man ja auch bei manchem Integranden mit Quadratwurzeln, dass man etwa im Fall \(\int{\sqrt{1+x^2} dx}\) dann \(x=\on{sinh}(u)\) setzt, um letztendlich die Wurzel loszuwerden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Okay, ich wusste nicht, dass man das auch so machen kann. Wie werden denn dann genau die Grenzen angepasst. Also wie kommt man von dem \(\sqrt y\) zu dem \(y\) bei der oberen Grenze?

Viele Grüße
Webee



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-10


Hallo,

da man jetzt im Prinzip nach der Quadratwurzel der eigentlichen ZV integriert, muss man die Grenzen, die ja nachher in die neue Variable eingesetzt werden, quadrieren, um dies auszugleichen. Bei der Null sieht man das bloß nicht...  😉


Gruß, Diophant



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-10


Huhu Webee,

vielleicht hilft dir ja noch folgendes:

\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt y} f_X(x)\, \dd x= \int_{x=0}^{x=\sqrt y} f_X(x)\, \dd x\)

Wenn du nun also \(x=\sqrt t\) substituierst, ersetzt du jedes(!) \(x\) einfach durch \(\sqrt{t}\). Somit:

\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt y} f_X(x)\, \dd x = \int_{x=0}^{x=\sqrt y} f_X(x)\, \dd x\stackrel{x=\sqrt{t}}{=}\int_{\sqrt{t}=0}^{\sqrt{t}=\sqrt y} f_X(\sqrt{t})\, \dd \sqrt{t}\)

Nun werden nur noch die Grenzen wieder nach \(t\) aufgelöst und \(\sqrt{t}\) noch differenziert.

\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt y} f_X(x)\, \dd x = \int_{x=0}^{x=\sqrt y} f_X(x)\, \dd x\stackrel{x=\sqrt{t}}{=}\int_{\sqrt{t}=0}^{\sqrt{t}=\sqrt y} f_X(\sqrt{t})\, \dd \sqrt{t}=\int_{t=0}^{t=y} f_X(\sqrt{t})\frac{1}{2\sqrt{t}}\, \dd t=\int_{0}^{y} f_X(\sqrt{t})\frac{1}{2\sqrt{t}}\, \dd t\)

Eine Substitution ist nun wahrlich kein Hexenwerk.

Gruß,

Küstenkind



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