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Analysis » Grenzwerte » Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt
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Kein bestimmter Bereich Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-10


Nach einigen Versuchen bin ich auf den nachstehenden Grenzwert für eine Funktion, die auf der Fibonaccifolge basiert, gekommen. Mir ist bekannt dass es eine 'Verwandschaft' zwischen Fibonaccifolge und Goldenem Schnitt gibt. Allerdings kannte ich diesen hier gefundenen Zusammenhang noch nicht. Auch im  Web fand ich bisher nichts dazu. Was ich interessant finde ist die Tatsache dass es sich bei den nachstehenden Ergebnissen um natürliche Zahlen $n \in \mathbb{N}$ handelt.
Da ich nun nicht so naiv sein möchte zu glauben es sei etwas neues, würde ich mich freuen wenn mir jemand zeigen kann wo dieser Zusammenhang bereits dargestellt ist, oder wer das schon vor 300 Jahren festgestellt hat....  😄

Für diese Funktion $\frac{f_{n-1}+2f_{n-2}}{f_{n}}$ der Fibonaccifolge: $f_n=$ Fibonaccizahl $n$
ergibt sich der Grenzwert $\chi$ mit:
$$\chi=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f_{n-1}+2f_{n-2}}{f_n}=\frac{10}{\left(5+\sqrt{5}\right)}\approx 1.381966011250105094=\frac{\sqrt{5}}{\Phi}$$
Der Goldene Schnitt ist mit $\Phi=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\approx 1.618033989 $ gegeben.

Und damit berechnet sich: $$\Phi+\chi=3$$ $$\frac{1}{\Phi}+\chi=2$$




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Gruß haegar90



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10


Falls dir hoffentlich bekannt ist, dass
\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f_n}{f_{n-1}}=\Phi\] gilt, so solltest du hier einfach in
\[\frac{f_{n-1}+2f_{n-2}}{f_n}=1+\frac{f_{n-2}}{f_n}=1+\frac1{\frac{f_{n-1}}{f_{n-2}}\frac{f_n}{f_{n-1}}}\] den Grenzübergang $n\to \infty$ durchführen.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


2019-12-10 23:01 - weird in Beitrag No. 1 schreibt:
Falls dir hoffentlich bekannt ist, dass
\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f_n}{f_{n-1}}=\Phi\] gilt...

Ja, das ist mir bekannt, wenn auch erst seit ein paar Tagen.
Sehe ich mir das damit mal an. Vielen Dank.

$...\chi=1+\frac{1}{\Phi^2}$   😄

Edit/AddOn: Als Formel für alle Fibonacci-Zahlen gilt damit:
\[f_{n+1}=\left[\frac{\Phi^n}{\chi}\right]\]


Für $\pi$ ergibt sich mit
$\pi\approx\lim\limits_{n\to\infty}1,2\frac{f_n}{f_{n-2}}=1,2\Phi^2$

ein Fehler zu Pi von $\approx 0.0000481329100805615$


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Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-11


zu "im  Web fand ich bisher nichts dazu..."

Neben Wikipedia
- hier hunderte von Formeln
 
Und mit der längst bekannten expliziten Funktion
Fibonacci(x)=(Φ^x - cos(Pi*x)/Φ^x)/sqrt(5)
{auch für reelle & komplexe Zahlen}

ist alles lange bekannt.

Statt einer Näherungsformel mit nicht mal 6 richtigen Nachkommastellen,
könnte ich Dir 100 mit über 44 richtigen Nachkommastellen "basteln".

Viel interessanter sind jedoch die vielen exakten Zusammenhänge zwischen Pi, Phi & Fibonacci (auch Primzahlen), die man unter
5.1. Zusammenhang von Pi und Phi
findet.



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-11


Praktisches Beispiel vom letzen LINK für eine bessere Näherung:


Pi = 10*asin(Phi/2-1/2)
mit Argument (1 + sqrt(5))/4-/2=0.3090169943749474241022934...
asin(x) = x + x^3/6 + (3 x^5)/40 + (5 x^7)/112 + (35 x^9)/1152 + (63 x^11)/2816 + ... Reihendarstellung beliebig genau
die ersten 10 Glieder ergibt:
(x*(19845 x^10 + 26950 x^8 + 39600 x^6 + 66528 x^4 + 147840 x^2 + 887040))/88704,x=(1 + sqrt(5))/4-1/2
=(1018980205 sqrt(5)-1137069187)/363331584
=3.1415926095394753...
=3.1415926535897932... = Pi
und
Pi-(1018980205 sqrt(5)-1137069187)/363331584 = 4.4e-8 also 7 richtige Nachkommastellen.
Das kann man dann beliebig dicht annähern.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Interessante Formeln !!!


zu "im  Web fand ich bisher nichts dazu..."
...bezog sich auf die natürlichen Zahlen, was mich zunächst erstaunt hatte aber dann mit dem Hinweis #1: $\Phi+\frac{1}{\Phi^2}=2$ sehr einfach klar geworden ist.

Ja, $\pi$ kann man auf zahllosen Wegen irgendwie annähern. Gibt es auch eine Möglichkeit $\pi$ auf $\geq 10$ Stellen genau anzunähern wenn man als Ausgangswert nur $\Phi$ verwenden darf ohne zusätzliche Faktoren, also nur mit den 4 Grundrechenarten und Potenzieren, Radizieren ? Das mit möglichst wenigen Termen.



-----------------
Gruß haegar90



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Hier mal ein erster Versuch der mit 21 Termen natürlich noch stark verbesserungswürdig ist. $\pi$ ist an elfter Nachkommastelle aufgerundet.

3.14159265359
Pi=Phi^2 + Phi/Phi^3 + Phi/Phi^6 + Phi/Phi^8 + Phi/Phi^10 + Phi/Phi^13 + Phi/Phi^17 + Phi/Phi^19 + Phi/Phi^21 + Phi/Phi^23 + Phi/Phi^29 + Phi/Phi^31 + Phi/Phi^34 + Phi/Phi^39 + Phi/Phi^42 + Phi/Phi^44 + Phi/Phi^48 + Phi/Phi^53 + Phi/Phi^63 + Phi/Phi^65 + Phi/Phi^71      


Hier "nur" 19
Pi=Phi^2 + Phi/Phi^2 - Phi/Phi^6 - Phi/Phi^13 - Phi/Phi^15 - Phi/Phi^25 - Phi/Phi^27 - Phi/Phi^34 - Phi/Phi^36 - Phi/Phi^39 - Phi/Phi^42 - Phi/Phi^46 - Phi/Phi^50 - Phi/Phi^53 - Phi/Phi^55 - Phi/Phi^57 - Phi/Phi^59 - Phi/Phi^61 - Phi/Phi^66


Hier "nur" 15
mit $\Phi^2-\Phi-1=0 \Rightarrow \Phi^2+0,477259996=3.095293985$ als Startwert für 3,14159265359  
Pi=Phi^2 + Phi_1 + Phi/Phi^8 + Phi/Phi^11 + Phi/Phi^13 + Phi/Phi^17 + Phi/Phi^20 + Phi/Phi^22 + Phi/Phi^24 + Phi/Phi^27 + Phi/Phi^32 + Phi/Phi^37 + Phi/Phi^45 + Phi/Phi^52 + Phi/Phi^55 + Phi/Phi^60 + Phi/Phi^68  


3.14159265358979: vierzehn Stellen mit achtzehn Termen
Pi=Phi^2 + Phi/Phi^8 + Phi/Phi^11 + Phi/Phi^13 + Phi/Phi^17 + Phi/Phi^20 + Phi/Phi^22 + Phi/Phi^24 + Phi/Phi^27 + Phi/Phi^32 + Phi/Phi^37 + Phi/Phi^45 + Phi/Phi^52 + Phi/Phi^55 + Phi/Phi^62 + Phi/Phi^64 + Phi/Phi^67 + Phi/Phi^69  




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Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-12


Ich verstehe zwar den Sinn nicht, die kurze exakte asin(x) Formel(n) durch schlechte und meist längere Näherungsformeln zu ersetzen,
aber dann doch etwas kürzer:




Mit 10, 11 und 12 richtigen Nachkommastellen (das "Hinrunden am Ende" ist ja nochmals geschummelt)

Was viele auch nicht wissen: universelles Potenzieren ist genau genommen
x^y = e^(ln(x)*y)
und damit etwa gleich kompliziert wie asin(x)



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Ja, die sind kürzer,  aber alle drei Formeln enthalten neben $\Phi$ noch sieben weitere Faktoren.

Einen tieferen Sinn gibt es da nicht so direkt.  😄

Doch würde man eine Kombination finden die mit wenigen $\Phi$-Termen
sagen wir max. 10 eine Genauigkeit von etwa 16 Stellen erreicht wäre das schon ein interessantes Ergebnis.



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Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-12


Deine Phi^2+...Phi/Phi^71
ist ja auch eine Funktion, wo das 2. Argument den Faktor 2 (71 ) hat!
x^y = pow(x,y)
x+y = add(x,y)
x*y = mul(x,y)

Wir hatten schon mal hier Beiträge, wie man mit Tricks (Rundungs- & Vorzeichenfunktionen) Zahlen ersetzen kann:
1=sgn(Phi)
2=ceil(Phi)
3=floor((Phi)^e)
4=ceil((Phi)^e)
5=floor(e^(Phi))
usw.

Hier die absolut exakte Berechnung von Pi ohne Faktoren oder anderen Zahlen/Konstanten außer Phi (golden Ratio):
Exakt
Pi = ceil(Phi)*floor(exp(Phi))*asin(Phi/ceil(Phi)-sgn(Phi)/ceil(Phi))

Und hier der Link zum Nachrechnen: Starte Berechnung

weiter unten bei Alternative Forms erscheint exakt Pi.

Statt 10 Phi-Termen und 16 Nachkommastellen hat man damit
6 Phi-Terme und unendlich viele richtige Nachkommastellen.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


2019-12-12 22:31 - hyperG in Beitrag No. 9 schreibt:

1=sgn(Phi)
2=ceil(Phi)
3=floor((Phi)^e)
4=ceil((Phi)^e)
5=floor(e^(Phi))
usw.


Mit der erstaunlichen Formel als Ansatz passt das schon sehr gut. Man kann ja noch verschiedene Terme anpassen und wie z.B. $\lceil\Phi\rceil=2$ durch $$\Phi+\frac{\Phi}{\Phi^3}=2$$ ersetzen.

$$\pi=\overbrace{\left(\frac{\Phi^4+\Phi^4+\Phi^3+\Phi+\Phi}{\Phi^3}\right)\left(\frac{\Phi^3+\Phi}{\Phi^3}\right)}^{\text{...noch weiter verkürzen}}\arcsin{\left(\frac{\Phi^2}{\Phi^4+\Phi}\right)}$$
Da fehlt jetzt "nur" noch dass $\arcsin(\cdots)$ durch $\Phi$ ausgedrückt wird, was aber vermutlich nicht ganz so einfach ist aber über die Reihenentwicklung vielleicht nicht unmöglich ist.


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-15


Du ignorierst also weiterhin die Potenz-Parameter, als wenn es keine Zahlen währen.

Wenn man die 2 ohne Ziffern ausdrücken will, dann doch besser so:
2= Phi/Phi + Phi/Phi

Wenn man mit nur 1 Phi die Konstante Pi berechnen will, geht das auch so:
Pi= acos(-sgn(Phi))

hier nachrechnen.

Aber damit entkoppelt man sich von jeglichen Zusammenhängen, da es mit jeder beliebigen positiven reellen Zahl funktioniert...



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hyperG
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2019-12-12 23:14 - haegar90 in Beitrag No. 10 schreibt:
... fehlt jetzt "nur" noch dass $\arcsin(\cdots)$ durch $\Phi$ ausgedrückt ..

Natürlich kann der Algorithmus für asin(x) durch zig andere Algorithmen berechnet werden: hier
- Integrale
- Reihen
- andere Funktionen atan(x)...
- hypergeometrische Funktionen
- Iterationen (functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSin/09/ )
- Kettenbrüche
...
Aber was bringt Dir das? Bist Du ein Gegner der asin-Funktion?




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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16



.....Aber was bringt Dir das? Bist Du ein Gegner der asin-Funktion?

Nun ja, ich habe als Kind schon mit $\arcsin$ schlechte Erfahrungen gemacht als eine Sinalco wieder hochkam  😄 .

Nein, natürlich nicht, es bezieht sich ja alles nur auf die (mehr oder weniger sinnvolle) Idee aus #5.


Gibt es auch eine Möglichkeit π auf ≥10 Stellen genau anzunähern wenn man als Ausgangswert nur Φ verwenden darf ohne zusätzliche Faktoren, also nur mit den 4 Grundrechenarten und Potenzieren, Radizieren ? Das mit möglichst wenigen Termen.



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Gruß haegar90



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