Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Warum Summe zweier Integrale 0 ergeben soll
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Warum Summe zweier Integrale 0 ergeben soll
Karankos99
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.09.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Warum gilt
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx=0$?

"Wegen Spiegelung" soll die Begründung sein. Das erkenne ich aber nicht ganz.
Ich hab das mal so probiert:
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich im Bruch des zweiten Integrands wegen des Vorzeichens dann $x$ und $t$ vertauscht habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich die Integralgrenzen beim zweiten Integral vertauscht habe und somit das Vorzeichen wieder umgekehrt habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
wobei ich $t$ und $x$ im Bruch wieder zurueckgetauscht habe und deswegen wieder ein negatives Vorzeichen vor dem zweiten Integral habe.

Ich erkenne jetzt nicht, warum das $0$ sein soll, denn die Integralgrenzen beider Integrale stimmen ja nicht ueberein.... Haetten wir im zweiten Integral $-\infty$ als untere Grenze wuerde ich es sehen.
Oder habe ich was vergessen und wir haben eigentlich $-\infty$ an der einen Grenze des Integrals?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1343
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11


Mach dir erstmal klar, dass$$ \int_{-\infty}^\infty\,\int_{-\infty}^x F(x,t)\;\mathrm dt\,\mathrm dx =
\int_{-\infty}^\infty\,\int_t^\infty F(x,t)\;\mathrm dx\,\mathrm dt
$$ ist, weil die iterierten Integrale auf beiden Seiten aus dem Intergral$$ \int_G F(x,t)\;\mathrm dt\,\mathrm dx
$$ über die Halbebene$$ G=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R^2:t\le x\bigr\}
$$hervorgehen (Stichwort Fubini).

Dann musst du nur noch ausnutzen, dass in deinem Fall $F(x,t)=-F(t,x)$ gilt.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]