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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Partielle Ableitung
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Universität/Hochschule J Partielle Ableitung
Zerakiin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Hallo ihr Lebewesen vom Matheplaneten,

Ich komme gerade mit den partiellen Ableitungen von der folgenden Funktion nicht klar:

fed-Code einblenden

Mein bisheriger Versuch ist mit
fed-Code einblenden
geendet, was aber nicht sein kann, nachdem ich das ganze nachgeprüft habe, indem ich das ganze per Hand ohne den Grenzprozess gemacht habe, wo ich
fed-Code einblenden
erhalten habe.

Ich bedanke mich schon einmal im vorraus für jegliche Hilfe!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3197
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Zerakiin und willkommen hier auf dem Matheplaneten!

So wie die Funktion notiert ist, sind alle Ableitungen gleich Null.  😉

Es ist einiges unklar. Schonmal vorneweg: man muss hier für die partiellen Ableitungen auf jeden Fall Produkt, Ketten- und Quotientenregel anwenden, was du offensichtlich übersehen hast.

Aber nochmal zurück zur Funktionsdefinition: kann es sein, dass das so gemeint ist:

\[h(x,y)=\bc 0 & \ ,\quad x=y=0\\(x^2+y^2)\cdot \sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) &\ ,\quad \text{sonst}\ec\]
?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Zerakiin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


Hallo Diophant!
Vielen Dank schonmal,
Ich habe den Post gerade nochmal geändert und alles richtig gestellt.

Bisher habe ich:

fed-Code einblenden
Beim ersten Summanden kann man ja dann schon mal den Grenzprozess durchführen, da erhält man ja

fed-Code einblenden

Ab hier komme ich dann leider nicht mehr weiter. Wir haben partielle Differentiation bisher nur mit der h-Methode gemacht, weswegen ich da sonst ein wenig vorsichtig bin mit anderen Varianten.



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2707
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-11


Hallo,

für $(x,y)\neq (0,0)$ kannst du doch ganz nomal rechnen:
\[\frac{\partial h}{\partial x} (x,y)= 2x\cdot\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) + (x^2+y^2) \ldots \]
Den Differenzenquotienten verwendest du nur für $(x,y)=(0,0)$:
\[\frac{\partial h}{\partial x} (0,0)= \lim_{x\to 0}\frac{h(x,0) - h(0,0)}{x-0}= \lim_{x\to 0}\frac{h(x,0)}{x}=\lim_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x^2}\right). \]



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Zerakiin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


Hi ochen,
Ich hatte komplett ausgeblendet, dass ja Kompositionen differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar sind...
Vielen Dank!



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Zerakiin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Zerakiin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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